1.3 二项式定理（通用）第一课时导学案

《二项式定理》教学设计

一．教学内容及其解析

二项式定理属于概念型认识，一方面是二项式定理证明要用到计数原理，另一方面为学习随机变量及其分布列作准备。起到承上启下的作用。二项式定理安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是计数原理、组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，它是二项展开式与多项式乘法有密切的联系。通过本节知识的学习，会运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

二．教学目标及其解析

（一）教学目标

1、能用计数原理分析(ab)2的展开式；二项式展开式各项的系数的组合规律。

2、会用类比推理的方法研究(ab)3，(ab)4，ab二项式展开式问题。

n3、学生会主动观察项以及系数的变化规律、类比(ab)3，(ab)4、猜想ab、n归纳二项式的能力。

（二）目标解析

1、将二项式展开式与计数原理联系在一起，通过摸球游戏引入问题，从新对解决系数规律是关键，最终寻找ab的展开式的规律，(ab)2的展开式认识，n找出ab的展开式的项数、各项次数及展开式中各项系数的规律特点，体验n从特殊到一般的数学思想。

2、引导学生从取球的问题转化为数学问题，先从ab开始分析，再让学生对2ab3进行分析，最后让学生归纳abn的展开式。

三．学生学情分析

1、根据学生的实际情况，学生已有的基础是计数原理、排列组合相关知识，但如何从计数原理过度到二项式定理。要解决这一问题，在教学中设计一个学生

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摸球的例子；然后引导学生用解决上述问题的方法写出ab的展开式，突出2计数原理在解决二项式展开式可以起到的作用。

2.学生已有基础多项式相承运算法则，但教学中可能遇到的又一困难就是学生不能发现系数用组合数表示的规律。

四、教学策略分析：

1、通过数学模型的引入，帮助学生复习预备知识，完成学与较的现实出发。

2、弄清楚展开式中的项有哪些？项所对的系数是什么？以及展开式？

四．教学重点：

探究并归纳用计数原理分析ab,ab,ab的展开式的形成过程，并234依此方法得到二项式定理．

五．教学难点：

1、展开式中会有哪几种类型的项？

2、展开式中各项的系数如何确定？

本节课的教学流程：

摸球游戏

分析ab的展开式 分析ab的展开式

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分析(ab)n展开式

解决二项式展开式问题

六．教学过程：

（一）创设情境引入新课：

问题：有两个小桶装有大小相同，质地相同的a、b两小球。在每个桶中各取一个小球，共有几种不同的取法？

列举法：共有aa、

ab、ba、bb等

4种不同的取法。

教师多媒体演示：摸球过程。

师：上述过程实际上就是解决(ab)2a22abb2展开式的问题

【设计意图】取球是同学们极为熟悉的组合代表性例子，也是基本的概型，解决该问题学生已经得心应手，并已深刻理解，问题的解决便于学生采用类比的合情推理解决新问题，为下面教学做准备。

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（二）新课讲授（定理是怎么来的？）

问题1：我们知道(ab)2a22abb2，当我们遇到的数学问题需要(ab)100的展开式解决，那我们又该怎么办呢？我们能否刚才的取球模型中找出规律，解决这个问题呢？

【设计意图】直接提出(ab)100的展开式是因为学生用以前所学多项式乘法知识进行展开时，计算麻烦，这样就可以为新的研究方法塑造重要地位。该设计旨在利用新旧方法之间产生的冲突激发学生的求知欲，同时向学生点明二项式定理所要研究的问题。

问题2、我们是否可以从刚才的取球的数学模型找出解决问题的方法呢？

我们重新认识(ab)2a22abb2如何？

02122获得认识：(ab)2C2aC2abC2b

【设计意图】问题2是本节课的关键所在，从计数原理，组合知识探寻(ab)2的展开式，是全新的研究方法，必须让学生“入戏”，从这个角度理解二项式展开式。

课堂探究1：从特殊入手，推导(ab)3的展开式。

32233kk①

展开式中的项：a

ab

ab

b

归纳：ab

k0,1,2,3

0123kCCCCC33333②

每一项的系数：

归纳：

0233C122C33CCabaabab333③

写出展开式：+++3b

探究2：仿照上述过程，推导(ab)4的展开式。

02122(ab)2C2aC2abC2b

ab3C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3

12344ab4C40a4+C4a3b+C4a2b2+C4ab3+C4b

教师启发学生观察上述等式，寻找其项数、各项次数及展开式中各项系数的特点。

【设计意图】

利用三个特殊的展开式寻找规律，让学生从中体会到解决问题的一般策略：从特殊到一般，即不完全归纳法。

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探究3：由上述四个展开式，猜想(ab)n(nN*)的展开式。

此处的证明采用“说理”的方法。让学生用计数原理，分析(ab)n(nN*)的展开过程，证明猜想。

问题2：二项式定理的内容是什么？

一般地，对于任意正整数n，有：

0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

此公式所表示的定理，我们称为二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n(nN*)的二项展开式。

请学生总结：

①

二项展开式有多少项？为什么？

②

展开式的每一项由哪几个部分构成？字母的指数如何变化？

③

能否写出展开式的通项？它是展开式中的第几项？

（三）二项式定理的简单应用：

1、课堂练习：求(1q)5的展开式。

2、例：求(x)6的展开式。

思考1：展开式的第2项的系数是多少？

思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？

思考3：你能否直接求出展开式的第4项？

思考4：你能否直接求出展开式常数项？(备用）

【设计意图】

呈现的两个题目都是利用二项式定理求展开式，难度层层递进，让学生巩固所学知识。若有时间，借助四个思考，让学生初步掌握二项展开式的通项公式的简单应用。

（四）课堂小结

(五)作业

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