探究与发现 组合数的两个性质教案教学设计

1．2．1排列教学设计

师宗县第二中学 吴莲碧

教学目标：

1、知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

2、过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题

3、情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.

教学重点：排列数公式的理解与运用；排列应用题常用的方法有直接法，间接法

教学难点：排列数公式的推导

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体

教材分析：

分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性. 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 教法选择：探究式与讲授式结合

学情分析：

对于高二的学生，知识经验已较为丰富，他们已具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，所以在授课时注重引导、启发、研究和探讨，从而促进思维能力的进一步发展。针对高中生思维特点和心里特征，本节课我采用启发式、探究式、讲授式相结合的教学方式。

教学过程：

一、复习引入：

1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有

Nm1m2mn种不同的方法

2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn

种不同的方法

1

二、讲解新课：

问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

图 1.2一1 把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3×2=6 种．

问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；

第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；

第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．

根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有

4×3×2=24 种不同的排法，

因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．

由此可写出所有的三位数： 123，124, 132, 134, 142, 143，

213，214, 231, 234, 241, 243，

312，314, 321, 324, 341, 342，

412，413, 421, 423, 431, 432 。

同样，问题 2 可以归结为：

从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

2

所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc,bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有4×3×2=24种. 树形图如下

a b ｃ

ｄ

ｂ

ｃ

ｄ

ａ

ｃ

ｄ

ａ

ｂ

ｄ

ａ

ｂ

ｃ

2．排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．．．

说明： 1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。

2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。

3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。

4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。

5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。

3．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中m取出m元素的排列数，用符号An表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m．．．．．m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号An只表示排列数，而不表示具体的排列

4．排列数公式及其推导：

33求An可以按依次填3个空位来考虑，∴An=n(n1)(n2)，

mm求An以按依次填m个空位来考虑Ann(n1)(n2)(nm1)，

排列数公式：

mAnn(n1)(n2)(nm1) （m,nN,mn）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个

少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；

（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列

3

n全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘）

另外，我们规定

0! =1 . nAnn!. AnmAnm(nm)!mn例2．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取22个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是A14=14×13=182. 例3． (1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，有多少种不同的送法？ (2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是

3=5×4×3=60. A5(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是

5×5×5=125. 例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．

例4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

分析：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题

解法

一

：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是O，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9 这1九个数字中任选 1 个，有A9种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A92种选法（图1.2一 5) ．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有

1A9A92=9×9×8=648（个） .

3解法

二：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A10，那 O 在百位上的排列数是A92，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，

4

3-A92=10×9×8-9×8=648. A10巩固练习：书本20页，1、2、3、5

课外作业：优化设计相关例题和习题

教学反思：

本节课从学生已有的生活经验出发，创设生活情境，激发学习兴趣。讲授时也注重排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。但是在实际教学过程中，给学生发挥的空间比较少，下来要多提高学生的积极性，给学生更多的发展空间。

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