2.1.2 演绎推理优质课教案内容

演绎推理

明目标、知重点

1.理解演绎推理的意义；

2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；

3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．

知识体系：

1．演绎推理

由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．

2．演绎推理的特征

当前提为真时，结论必然为真．

3．三段论推理，三段论的一般表示

M是P，S是M；所以，S是P.

教学过程：

[情境导学] 陶术子是二中一名高二年级的学生，今年17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向小学生抢取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？

探究点一

演绎推理与三段论

思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．

(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；

(2)一切奇数都不能被2整除，(2＋1)是奇数，所以(2＋1)不能被2整除；

(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；

(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.

答

思考1中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．

思考2 演绎推理有什么特点？演绎推理的结论一定正确吗？

答

演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．

在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．

100100

思考3 演绎推理一般是怎样的模式？

答

“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：

(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；

(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．

解

(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提

菱形是平行四边形，小前提

菱形的对角线互相平分．结论

(2)等腰三角形的两底角相等，大前提

∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提

∠A＝∠B.结论

(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提

通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，

则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提

通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论

反思与感悟

用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：

(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；

(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；

(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．

解

(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提

△ABC三边的长依次为3,4,5，而3＋4＝5，小前提

△ABC是直角三角形．结论

(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，大前提

函数y＝2x＋5是一次函数，小前提

函数y＝2x＋5的图象是一条直线．结论

(3)三角函数是周期函数，大前提

222y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提

y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论 探究点二

三段论推理中的易错点

例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：

(1)整数是自然数，大前提

－3是整数，小前提

－3是自然数．结论

(2)常数函数的导函数为0，大前提

函数f(x)的导函数为0，小前提

f(x)为常数函数．结论

(3)无限不循环小数是无理数，大前提

1(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提

31是无理数．结论

3解

(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．

(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．

1(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数．

3反思与感悟

演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确．

跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：

(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提

北京大学是中国的大学，小前提

所以北京大学分布在中国各地．结论

(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提

而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提

所以菱形是正多边形．结论

解

(1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．

探究点三

三段论的应用

例3 如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到点D，E的距离相等．

证明

(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提

在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，小前提

所以△ABD是直角三角形．结论

同理，△AEB也是直角三角形．

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提

因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线，小前提

1所以DM＝AB.结论

21同理EM＝AB. 2所以DM＝EM. 反思与感悟

应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．

跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.

证明

三角形的中位线平行于底边，大前提

点E、F分别是AB、AD的中点，小前提

所以EF∥BD.结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提

EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提

EF∥平面BCD.结论

课堂练习：

1．下面几种推理过程是演绎推理的是(

) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50

人

C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

11D．在数列{an}中a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式

an－122．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是__________________．

3．把“函数y＝x＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；

小前提：____________；

结论：____________. 4.如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD. 证明：在△ABC中，

因为CD⊥AB，AC>BC，①

所以AD>BD,

②

于是∠ACD>∠BCD. ③

则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)

课堂练习答案：

1．答案

A 解析

A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．

2．答案

正方形的对角线相等

解析

根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．

3．答案

二次函数的图象是一条抛物线

函数y＝x＋x＋1是二次函数

函数y＝x＋x＋1的图象是一条抛物线

4.答案

③

解析

由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．

222