2.1.2 演绎推理优秀教案说课稿

2.1.2 演绎推理

互动课堂

疏导引导

“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的.亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想.例如欧几里得的《原本》就是一个典型的演绎系统,它从10条公理和公设出发,利用演绎推理,推出所有其他命题. 像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法.公理化方法的精髓是：利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论. 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式. 演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.三段论式推理常用的一种格式,可以用以下公式来表示：

M—P(M是P) SM(S是M)

SP(S是P) 三段论推理的根据,用集合论的观点来讲,就是：若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P. 三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断——结论. 例如,用三段论证明并指出每一步推理的大前提和小前提. 如图所示,在锐角△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D、E是垂足.求证：AB的中点M到D、E的距离相等.

分析：解答题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提. 证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, (大前提) 在△ABD中,AD⊥BC,即∠ADB=90°, (小前提) 所以△ABD是直角三角形. (结论) 同理,△AEB也是直角三角形. (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， (大前提) 而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线， (小前提) 1AB. (结论) 21 同理，EM=AB，所以，DM=EM. 2x2x案例

已知函数f(x)=a+(a＞1). x1 所以DM=证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数. 第

1 页

共

4 页

【探究】用演绎推理解决问题的常见模式是三段论.证明本题所依据的大前提是增函数的定义，即函数y=f(x)满足：在给定区间内任取两个自变量x1,x2，若x1＜x2,则有f(x1)＜f(x2),小前提是函数f(x)=a+xx2(a＞1) x1 在(-1，+∞)上满足增函数的定义，这是证明本例的关键. 证明：设-1＜x1＜x2, f(x2)-f(x1)=a2+xx22x1x12-a-

x21x11=a2-a1+xxx22x12-

x21x111)+=a1(axx2x1(x11)(x22)(x12)(x21) (x21)(x11)3(x2x1)

(x21)(x11)x=a1(axx2x11)+ 因为x2-x1＞0,又a＞1,所以a2-x1＞1. 所以ax2x110，而-1＜x1＜x2, 所以x1+1＞0,x2+1＞0,所以

f(x2)-f(x1)＞0,∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 规律总结

演绎推理一般分三段，称为“三段论”，其中第一段称为“大前提”，指的是一个一般原理.第二段称为“小前提”指的是一种特殊情况，第三段称为“结论”是所得的结论，当大前提是很显然时，一般可以省略不写.演绎推理在数学命题的推理中是常用的方法，证题中要注意灵活应用. 活学巧用

例1 已知a、b∈R,求证：|a||b||ab|. 1|a||b|1|ab|证明：设f(x)=x,x∈［0,+∞),x1、x2是［0,+∞)上的任意两个实数,且0≤x1＜1xx2,f(x2)-f(x1)=x2xx2x1. 11x21x1(1x1)(1x2)x在［0,+∞)上是增函数.(大前提) 1x 因为x2＞x1≥0,所以f(x2)＞f(x1). 所以f(x)= 由|a|+|b|≥|a+b|≥0,(小前提) 知f(|a|+|b|)≥f(|a+b|)(结论),即|a||b||ab|成立. 1|a||b|1|ab|第

2 页

共

4 页

例2 梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角. 已知在梯形ABCD中(如图),AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,求证：AC平分∠BCD,DB平分∠CBA.

证明：(1)等腰三角形两底角相等(大前提), △DAC是等腰三角形,DA、DC是两腰(小前提), ∠1=∠2(结论). (2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提), ∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角(小前提), ∠1=∠3(结论). (3)等于同一个量的两个量相等(大前提), ∠2和∠3都等于∠1(小前提), ∠2=∠3(结论),即AC平分∠BCD.

(4)同理,DB平分∠CBA.

例3 已知函数f(x)=abx,其中a＞0,b＞0,x∈(0,+∞),确定f(x)的单调区间,并证明在x每个单调区间上的增减性. 证明：设0＜x1＜x2,则

f(x1)-f(x2)=(aabx1)-(bx2) x1x2=(x2-x1)(ab). x1x2 当0＜x1＜x2≤0x1x2aaa时,则x2-x1＞0,0x1x2,b, bx1x2b∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2). ∴f(x)在(0,a］上是减函数. baaa时,则x2-x1＞0,x1x2,b, bx1x2b 当x2x1∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2). ∴f(x)在［a,+∞)上是增函数. b第

3 页

共

4 页

例4 已知函数f(x)=aaax(a＞0且a≠1)

(1)证明：函数y=f(x)的图象关于点(11,)对称；

22(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x,y),它

关于点(11a,)对称的点的坐标为(1-x,-1-y).由已知，y=, 22 则-1-y=1aaxaxaaxa, f(1-x)=aaaaxa1xaa=axaaaaxaxa, ax∴-1-y=f(1-x). 即函数y=f(x)的图象关于点(12,12)对称. (2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x). 即f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1. 则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.

第

4 页

共

4 页

axa