1.3 二项式定理（通用）教案教学设计

二项式定理

高三

乔石冰

一、复习回顾

1．二项式定理（推导过程--微课展示）

n1n－1kn－kkn*(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0a＋Cab＋…＋Cb＋…＋Cn

nnnanb(n∈N)；kn－kk(2)通项公式：Tk＋1＝Cnab，它表示第k＋1项；

1n(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，Cn，…，Cn. 2．二项式系数的性质

高考三大热点

三种解题方法

1、通项运用型

1、常规问题通项分析法

2、系数配对型

2、系数配对分配规律法

3、系数求和型

3、系数和差型赋值法

二、课堂小练：

a61．(教材习题改编)已知a>0，－x展开式的常数项为15，则a＝________. x

a624解析：由－x的常数项C6a＝15，且a＞0，可得a＝1. x答案：1 2．(1－2x)7展开式中x3的系数为________．

r7－rrr解析：Tr＋1＝C71(－2x)r＝Cr7(－2)x，

令r＝3. 3则x3的系数为C7(－2)3＝35×(－8)＝－280. 答案：－280 1x－83．(教材习题改编)4的展开式中的有理项共有________项．

2x1r1rr16-3rr8－r－－C8x4，

解析：∵Tr＋1＝C8(x)4＝22x∴r为4的倍数，故r＝0,4,8，共3项．

答案：3 三、高考考点分析

考点一

二项展开式中特定项或系数问题题点多变型考点——多角探明

[锁定考向]

二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．

常见的命题角度有：

(1)求展开式中的某一项；

(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；

(3)由已知条件求n的值或参数的值．

角度一：求展开式中的某一项

21622(2017·济南模拟)设a＝(3x－2x)dx，则二项式ax－x展开式中的第4项1

为(

) A．－1 280x3

B．－1 280 C．240

D．－240 216解析：选A

由微积分基本定理知a＝4，4x－x展开式中的第4项为T3＋1＝C36(4x2)31－x3＝－1 280x3，选A.

角度二：求展开式中的项的系数或二项式系数

(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(

) A．10

B．20 C．30

D．60 解析：选C

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5. 所以x5y2的系数为C25C13＝30，故选C. 角度三：由已知条件求n的值或参数的值

(2016·山东高考)若215ax＋x的展开式中x5的系数是－80，则实数________. 解析：Tr＋1＝Cr5·(ax2)5－r1rr5－r10－52x＝Cr5·ax. 令10－52r＝5，解得r＝2. 又展开式中x5的系数为－80，

则有C25·a3＝－80，解得a＝－2. 答案：－2 考点二

二项式系数的性质或各项系数和

a＝

(2017·河北省“五校联盟”质量检测)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(

) A．－960

C．1 120

B．960 D．1 680 解析：选C

根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则(1－2x)8的展开444式的中间项为第5项，且T5＝C48(－2)x＝1 120x，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C. 考点三

二项展开式的应用

设a∈Z，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a＝(

) A．0

B．1 C．11

D．12 解析：选D

由于51＝52－1，

02 0151(52－1)2 016＝C2 016522 016－C1＋…－C2 0152 016522 01652＋1，

又由于13整除52，

所以只需13整除1＋a，

0≤a<13，

a∈Z，

所以a＝12. 四、总结：

1、求二项展开式中的特定项的方法

kn－kk求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Cnab的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．

(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；

(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；

(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．

2、赋值法研究二项式的系数和问题

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

3、二项式系数最大项的确定方法

n(1)如果n是偶数，则中间一项第2＋1项的二项式系数最大；

n＋1n＋1(2)如果n是奇数，则中间两项第项与第＋1项的二项式系数相等22并最大．

利用二项式定理解决整除问题的思路

(1)观察除式与被除式间的关系．

(2)将被除式拆成二项式．

(3)结合二项式定理得出结论．