1.3 二项式定理（通用）教学实录与评析

二项式定理（二）教学设计

江门市培英高级中学

李馨

一、教学设计思想：

现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力．

二项式定理这部分内容相对于前一阶段学习的排列组合，内容较简单，本质上是初中学习的多项式乘法的继续。本节课主要是在第一节课学习了二项式定理的基础上，让学生对二项式中的a、b赋值，得到要研究的结论。因此，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、发现问题、解决问题，实现从“一般”到“特殊”的转化，是本节课教学设计的核心．通过对二项展开式结构特点的研究，体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程，体验数学公式的和谐美．

二、教学方法及效果分析

我采用启发式教学与自主探究相结合的教学方法，使学生在交流合作及教师的引导下

去发现、解决问题，同时注重讲练相结合法．

一是设置适当的课前热身练习，使学生在回顾上节课的知识点的同时，为本节课要研究的问题打下伏笔。

二是借用高一学习集合时遗留下的一个结论的证明引出要研究的问题，引发学生的探究兴趣，增强学生的求知欲。

三是将定理的证明作为解决问题的“典范”，让学生学会自主归纳研究出的结论。

四是教师的启发与学生的探究恰当结合。

本节课进一步研究了二项式系数的有关性质，突出“赋值法”的应用，实现从“一般”到“特殊”的转化。

过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“分析—归纳总结—应用”的思维方法，养成探究的意识，获得学习和成功的体验．

情感、态度和价值观：通过对二项展开式结构特点的研究，体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程，体验数学公式的和谐美．

三、学生情况分析

本班学生有一定的数学基础，学习数学兴趣较浓厚，学生有过探究、交流的课堂教学的经验，并非常喜欢这种教学模式。对所教授的知识内容能掌握，并能主动获得学习经验。

四、教材分析与处理

本节课是高中数学选修2—3第一章第3节的内容。在高考中通常是以选择、填空题的形式出现，难度多为容易题或中档题，属于必拿分题。

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着乘上启下的作用．学习本小节的意义在于：①二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系，本小节是学习概率知识及概率统计的准备知识；②二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识；③基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的

变形起到复习、深化的作用。

教材的安排：本节课是在第一节课学习了二项式定理的基础上，让学生对二项式中的a、b赋值，得到组合数的有关性质，并研究展开式中的系数问题。

教学目标

(一)教学知识点

1．二项式系数性质。

2．用赋值法求展开式系数问题。

(二)能力训练要求

1．掌握二项式系数的性质及其应用．

2．掌握解决与二项式系数有关的问题的思想方法．

(三)德育渗透目标

1．提高综合素质，培养学生自主探究的精神。

2．培养学生应用所学知识分析、解决问题的能力．

教学重点

二项式定理公式的应用．

二项式系数及其与系数的区别，应用赋值法证明二项式系数的性质、求解系数问题。

教学难点

应用赋值法证明二项式系数的性质、求解系数问题．

教学资源与教学方法

利用多媒体辅助教学，增强教学效果，提高教学效率。采用启发式教学与自主探究教学

方法，使学生在交流合作及教师的引导下去发现、解决问题同时注重讲练相结合法．

五、教学过程设计

教学过程

Ⅰ．温故知新（复习回顾）

(a+b)（1）二项式定理：

n0nn-12n-22=Cna+C1b+Cnab+nan-rr+Crb+nan+Cnnbrnrr（2）通项公式：Tr1Cnab

r（3）二项式系数：Cn．项的系数为

二项式系数与数字系数的积

（4）字母a按降幂排列,次数由n递减到0，字母b按升幂排列,次数由0递增到n 热身练习（使学生在温习上节课的知识点的同时，为本节课要研究的问题打下伏笔。）

12n计算：（1）12Cn= 4Cn2nCn12345 （2）1C52C522C523C524C525=

Ⅱ．讲授新课

情景引入：（借用高一学习中一个归纳猜想得到的结论的证明，激发学生求知欲）

高一学习集合时有这样一个结论：若集合A＝｛a1,a2,a3an｝，则集合Ａ的子集个数为：2。今天我们来证明这个结论。

即要证：CnCnCnCn=2

012nnn

0122nn

(1x)nCnCnxCnxCnx

令：x1

012n则：左边=(11)n2n 右边=Cn

CnCnCn 得证

点评：在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法．

012n二项式系数性质三：各二项式系数的和为Cn=2

CnCnCnn二项式系数性质四：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和

024135

CnCnCnCnCnCn

（回顾热身练习中两题的区别，得到启发，寻找赋值的“目标”）

n0122nnf(x)(1x)CnCnxCnxCnx证明：令：

012n f(1)Cn

CnCn(1)nCn 又：f(1)(11)n0

024135 即：

CnCnCnCnCnCn(通过性质的证明，为后面探究展开式系数相关问题获得经验) 典型例题：

例：设(13x)8a0a1xa2x2a8x8，求：

（1）展开式中所有二项式系数的和

（2）a0

（3）a1a2a3a7

（4）a0a2a4a6a8

（5）a1a3a5a7

（6）|a0||a1||a2||a8|

点评：（1）求展开式的系数和关键是给字幕赋值，赋值的选择需根据所求的展开式系数和特征来定，应用时要有强烈的“目标”意识，恰当处理“一般”与“特殊”的关系。

（2）一般地，多项式f(x)a0＋a1x＋a2x＋…＋anx的各项系数和为f(1)，奇次系数2n和为f(1)f(1)f(1)f(1)，偶次系数和为

22（3）第6小题中，不同的解题思路会带来令人惊喜的效果。

III课堂练习：

1、已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求

(1)a1a2a7；

(2)a1a3a5a7；

(3)a0a2a4a6

分析：由(12x)7a0a1xa2x2a7x7对于x而言是一个恒等式，于是通过x的取值可进行求解．

解：(1)∵

令f(x)(12x)7a0a1xa2x2a7x7，

f(1)a0a1a2a7＝-1．

f(0)a01，

∴

a1a2a7＝-2．

(2) f(1)a0a1a2a3a7＝3＝2187．

7

a1a3a5a7＝

(3) a0a2a4a6＝f(1)f(1)=1094；

2f(1)f(1)=1093．

2n3

2、（07江西理科第4题）已知x3展开式中，各项系数的和与其各项二项式系x数的和之比为64，则n等于（

C ）

Ａ．4

Ｂ．5

Ｃ．6

Ｄ．7

a11(x2)11，3、（07江西文科第5题）设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2则a0a1a2a11的值为（

A ）

Ｂ．1

Ｃ．1

Ｄ．2

Ａ．2

点评：在应用赋值法求解展开式系数问题时，按需选择恰当的数值是解决问题的关键。

Ⅳ．课时小结

012nn024135CCCC2CCCCCCnnnnnnnnnn＋…＝1、二项式系数性质及2n－1的证明是赋值法在二项展开式中运用的“典范”．

2、应熟练掌握二项式定理及有关公式、性质的应用．基本掌握解决与此有关的问题的思想方法．恰当的赋值可以求展开式系数的好多问题，一般地，多项式f(x)a0＋a1x＋a2x2

＋…＋anx的各项系数和为f(1)，奇次系数和为nf(1)f(1)，偶次系数和为2f(1)f(1)

2课后探究

1261年，我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》一书中提出了二项式系数的三角形排法，即著名的“杨辉三角”，科学地揭示了二项式系数的构成规律，更具有许多奇妙的性质，是不可多得的集思想性、科学性、趣味性于一体的珍贵历史材料。课后请同学们依照观察——分析——实验——猜想结论——证明的方式，得出杨辉三角中的诸多规律,从中领悟如何从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法。

六、教学评价

在教学过程中，通过不断的提问、练习题的完成情况了解学生的掌握情况，对学生进行“教学反应”型的评价；通过学生自主探究解决问题的途径、掌握的效果、作业的完成情况，进行“教学反馈”型的评价。将评价和调节教学活动的相结合，而且根据各类教学活动的特点灵活地运用各种评价形式激励学生，让学生产生更好地学习状态。