2.3.1 圆的标准方程教学设计内容推荐

教学设计

毕达哥拉斯：一切平面图形中，圆形是最美的图形。

“圆”字对中国人有着特殊的意义，圆满、团圆寄托着人们的美好愿望。

【设计意图】让学生体会圆不仅有形之美，蕴含的文化之美，点明更有数之美，引出圆的标准方程。

（一）创设情境

屏幕上打出赵州桥、荷叶、摩天轮、隧道的截面，蛋糕，圆桌，大鼓，光盘，地球等接近标准圆的图形. 【设计意图】通过课件展示生活中的圆，让学生对圆有了直观形象的认识.完成了三维教学目标中的情感态度与价值观的要求：欣赏圆的对称性，感受数学美. （二）新课讲解

引例 如图是赵州桥的圆拱示意图.该圆拱跨度AB=20ｍ，拱高OP=4ｍ，在建造时每隔4ｍ需要用一个支柱支撑，求①圆拱所在圆的方程②支柱A2P2 的长度（精确到0.01m）. 【设计意图】利用河北省赵县的我国最古老的石拱桥的圆形桥拱，聆听赵州桥童谣，引入新课，告诉学生圆的应用就在身边，激发大家学习热情和求知欲望。

（三）探究圆的标准方程

问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？

生：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。

问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？

生：圆心：确定圆的位置

半径：确定圆的大小

问题三：如何在平面直角坐标系中确定圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程？

（学生小组讨论探究）

推导圆的标准方程

在平面直角坐标系中，设圆心坐标为Aa,b，半径为r（其中a、b、r都是常数，r0）如何求出圆的方程呢？

学生推导（投影展示）：设Mx,y是圆上任意一点，那么由圆的定义可知M满足的

条件是

PM||MA|r

由两点间的距离公式可得，点M的坐标满足的条件可以表示为

xayb22r

22将上式平方化简得：xaybr2 （1）

若点Mx,y在圆上，由上述推导可知，点M的坐标适合方程（1）；反之，若点Mx,y的坐标适合方程（1），这说明点M与圆心A的距离为r，即点M在圆心为A半径为r的圆上. 我们把方程（1）称为圆心为Aa,b，半径为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.即圆的标准方程是xaybr2

它的特点是：这是一个二元二次方程，由圆心坐标和半径可以直接写出圆的标准方程，同时由方程也可直接看出圆心坐标为（a，b），半径为r.特别地，圆心为坐标原点22O（0，0），半径为r

的圆的标准方程是

x2y2r2

圆心在原点，半径为1的圆的标准方程是

x2y21

（单位圆）

【设计意图】通过学生小组讨论，亲身经历圆的标准方程的推导过程，加强对求曲线方程一般步骤的理解和应用。进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力，加深对数形结合思想的理解，培养学生自主探究的能力。

例1:(口答):求圆的圆心及半径

例2：写出下列圆的标准方程

(1)圆心在原点,半径是3. (2)圆心在(3,4),半径是5

【设计意图】由简单问题入手，让学生能根据圆心坐标、半径写出圆的标准方程，能根

据圆的标准方程写出圆心坐标、半径，避免出现将r2当作r的错误. (四)探究点与圆的位置关系

思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？ 思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？

【设计意图】逐步追问，符合学生的思维顺序，进而得到点与圆的位置关系可以通过数形结合转化为圆心到点的距离与半径大小来判断，进而转化为代数运算解决几何问题。

例3:已知圆心A(2, -3) ，半径等于5的圆的方程，试判断点M(5, -7)、N(1，0)、Q(7, 1)是在圆上，在圆内，在圆外？

【设计意图】通过计算的方法判断出了点与圆的位置关系，用代数方法解决了几何问题.对知识的简单应用。

(五)求圆的标准方程

例4:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程.

分析：平面内不共线的三点可以确定一个圆，所以△AOB有唯一的外接圆，求它的标准方程需要求出圆心坐标和半径. 解（待定系数法）：设所求圆的方程是(xa)(yb)r．

① 2228)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是

因为A(5,1),B(7,3),C(2,

a2解此方程组得b3

r225

所以ABC的外接圆的方程是

(x2)2(y3)225

． 解法2（数形结合法）

【设计意图】从圆的标准方程(xa)2(yb)2r2

可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数。法2，学生动手画出这个三角形，并画出这个三角形的外接圆，使“数形结合”落到实处，同时培养学生的画图技能，增强教学效果。

（六）实际应用（解决引例问题）

引例、如图是赵州桥的圆拱示意图.该圆拱跨度AB=20ｍ，拱高OP=4ｍ，在建造时每隔4ｍ需要用一个支柱支撑，求①圆拱所在圆的方程②支柱A2P2 的长度（精确到0.01m）.

思考：利用圆的几何性质，你能否用直线方程求出圆心坐标？进而写出圆的方程？

设计活动：给学生五分钟时间，展示学生的不同做法。

【设计意图】通过学生小组活动，展示学生求赵州桥圆拱的方程的过程和方法（待定系数法，几何法）用求圆的标准方程的理论知识解决实际问题，体现数学在生活中的应用和价值。

实例展示：播放卡车过隧道的图片，溜冰鞋，车轮，钟表，运动场跑道的图片，进一步说明远在现实生活中的应用广泛，扮演者很重要的角色。

（七）小结反思

学生总结

222 (1)、圆的标准方程：(x-a)+(y-b)=r(2)、明确圆心（a，b）、半径r确定一个圆

(3)、点与圆的位置关系

(4)、求圆的标准方程方法：

①待定系数法

②数形结合（利用几何性质）法

人的学习就像一个圆，学的东西越多，则圆的周长越长，周长越长则接触外面世界的机会就越多。“书山有路勤为径，学海无涯苦做舟”，希望你们珍惜时光，画好自己的圆.

（八）板书设计

圆的标准方程

二、点与圆的位置例2

例3 例4

小结与作业

一、推导圆的标准关系

方程

例1 ybr2

2xa2圆心坐标为a,b，半径为r