1.2.1 平面的基本性质与推论优秀教学设计

1.2.1

平面的基本性质与推论

1.正确使用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系;初步掌握自然语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化.

2.理解可以作为推理依据的三条公理及三条推论,并且能够应用公理及推论证明共点、共线、共面问题.

3.学会用集合语言来描述点、直线、平面之间的关系以及图形的性质.

问题1:上述检测方法其实就是利用了公理1的思想,若地面砖铺得很平整,就可以把地面砖看成一个平面,木工尺看成一条直线,直线上有

两个点

在一个平面内,那么直线上

所有的点

都在这个平面内,木工尺与地面间也就没有间隙.

问题2:如何用符号语言来表达下列图形的位置关系?

图①中,点A在直线l上,记作

A∈l ;点B不在直线l上,记作

B∉l .

图②中,点A在平面α内,记作

A∈α

;点B不在平面α内,记作

B∉α

.

图③中,直线l在平面α内,记作

l⊂α

.

图④中,直线l1不在平面α内,记作

l1⊄α

,直线l2不在平面α内,记作

l2⊄α

.

问题3:写出平面的三个公理并用图形语言和符号语言分别表示.

图形

文字叙述

符号表示

如果一条直线上的

两点

基本性质1

在一个平面内,那么这条直线

在此平面内

基本性质2 过不在一条直线上的三点,

一个平面

图形

文字叙述

符号表示

如果两个不重合的平面有

基本性质3 公共点,那么它们

过该点的公共直线

问题4:由平面的基本性质,可以得到下面的推论.

推论1:经过

一条直线

和直线

外

的一点,有且只有一个平面.

推论2:经过两条

相交

直线,有且只有一个平面.

推论3:经过两条

平行

直线,有且只有一个平面.

符号语言的应用

试用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的关系.

共面的判断

已知两条平行直线和第三条直线都相交,试判断这三条直线是否共面

空间中的三点共线问题

如图所示,O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心,M是对角线A1C和截面B1D1A的交点.求证:O1、M、A三点共线.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:D1,E,F,B四点共面.

答案

问题1:两个点

所有的点

问题2:A∈l B∉l A∈α

B∉α

l⊂α

l1⊄α

l2⊄α

问题3:两点

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l⊂α

有且只有

A、B、C不共线,则A、B、C三点确定一个平面

一个

有且只有一条

P∈α,P∈β,则α∩β=l,P∈l,l唯一

问题4:一条直线

外

相交

平行

重点难点探究

探究一:【解析】图①中,α∩β=l,A∈l.

图②中,l⊂α,m∩α=C.

【小结】本题的关键就是根据图形准确地判断出点、直线、平面之间的位置关系,然后根据位置关系,用符号语言表达清楚.

探究二:

【解析】如图,l1∥l2,l1∩l3=A,l2∩l3=B.

∵l1∥l2, ∴存在一个平面α,使l1⊂α,l2⊂α.

又∵l1∩l3=A,l2∩l3=B,A∈l1,B∈l2,∴A∈α,B∈α.

又∵A∈l3,B∈l3,∴l3⊂α,∴三条直线共面.

【小结】证明三线共面的基本方法就是先利用两条直线确定一个平面,再证明第三条直线在该平面内,这实际上是公理1、2的结合.

探究三:【解析】∵A1C1∩B1D1=O1, 又B1D1⊂平面B1D1A,A1C1⊂平面AA1C1C, ∴O1∈平面B1D1A,O1∈平面AA1C1C.

∵A1C∩平面B1D1A=M,A1C⊂平面AA1C1C, ∴M∈平面B1D1A,M∈平面AA1C1C.

又∵A∈平面B1D1A,A∈平面AA1C1C, ∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上,即O1、M、A三点共线.

【小结】证明点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,从而可根据基本性质3证明这些点共线(都在这两个平面的公共直线上).

全新视角拓展

【解析】如图,取BB1的中点G,连接A1G,GF,则GFB1C1.

依题意A1D1B1C1,所以A1D1GF, 即四边形A1D1FG为平行四边形.

故A1GD1F.

又E为AA1的中点,所以同理可知EBA1G.

所以D1FEB,故由两条平行线确定一个平面, 得D1,E,F,B四点共面.