1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优质课一等奖

线性回归方程

官渡二中

李曦霞

教学目标：

1．

2．

3．

4．

了解相关变量的含义，能区分函数关系与相关关系；

能作出两个相关变量的散点图及通过散点图判断相关变量是否线性相关；

能利用公式求出线性回归方程，并通过方程进行相关变量值的预报；

了解线性相关系数r的计算公式及统计意义

教学重点与难点：

利用公式求出线性回归方程，并通过方程进行相关变量值的预报

教学过程：

一、

情景引入

我们知道，从婴儿到成人，随着年龄的增长，身高也会越来越高。下表是随机调查的几名不同年龄的小孩的身高：

年龄x（岁）

身高y（cm）

2 72 3 79 5 93 8 121 10 132 根据该表，我们可以得出什么结论呢？

分析：通过画出身高y与年龄x的散点图，可知，(x,y)大致地分布在某条直线附近，年龄越大，身高越高，这说明身高与年龄有关，但散点并不是分布在直线上，故身高还受其他因素影响，即身高与年龄并

不是确定的关系。

从散点图上可以看出，如果两变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合，若这两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称x和y线性相关。

我们在《必修3》中就已经学习了变量的相关关系，也知道函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定性关系，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，在《必修3》中，我们主要是针对两个具有线性相关关系的变量进行分析，其步骤为：（1）画出两个变量的散点图

（2）求回归直线方程

（3）用回归直线方程进行预报

ˆxaˆbˆ回归直线方程是：yˆ其中b

ˆ

a（x,y）称为样本点的中心，线性回归直线必过样本点的中心

通过求Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2...(ynbxna)2

的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法

二、

动手试试

求出上面问题的线性回归方程：

例

从某大学生中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示：

编号

身高/cm

体重/kg

1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。

分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x，体重为因变量y，作出散点图：

从图中可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用回归直线ybxa来近似刻画它们之间的关系。

计算得

ˆ0.849

bˆ85.712

aˆ0.849x85.712

线性回归方程：yˆ0.849

是回归直线的斜率的估计值，说明身高x每增加一个单位，体重y

b就增加0.849个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系。

所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为

ˆ0.84917285.71260.31(y6kg)

三、

方法点拨：

对于两相关变量是否线性相关，可以从两方面来判断：

1．

2．

散点图，即从形判断，比较直观

相关系数，即从数判断，比较精确

统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱

r(xi1nix)(yiy)n(xi1n

ix)2(yjy)2j1当r为正时，表明变量x和y正相关；

x[0.75,1]正相关很强；

x[0.3,0.75]正相关一般；

x[0,0.25]正相关较弱；

当r为负时，表明变量x和y负相关

x[1,0.75]负相关很强；

x[0.25,0]负相关一般；

x[0,0.25]负相关较弱；

四、

作业：