1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用精品学案

§1.2独立性检验的基本思想及其初步应用

一、分类变量

1、若变量的不同“值”表示个体所属的 ，则这样的变量称为分类变量。

如：变量：性别；取值：男，女。又如：变量： ；取值： 我们常研究两个分类变量之间是否有关系（高中阶段只研究两个变量，每个变量只有两个类别问题）

2、列联表

①定义：列出的两个分类变量的

表，称为列联表。

②22列联表

引例：在一次航海过程中调查了共100名男女乘客的晕船情况，其中男乘客80人，女乘客20人，晕船的男乘客12人，晕船的女乘客8人，判断晕船与性别是否有关系？

二、等高条形图

1、与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量是否 ，

常用等高条形图展示列联表数据的 特征。

2、如果通过计算或等高条形图发现

男

女

合计

晕船

a c a+c 不晕船

b d b+d 合计

a+b c+d a+b+c+d ac和相差很大，

abcd就判断两个分类变量之间 问题：这种判断是否可靠？可靠的程度有多高？

三、独立性检验

1、原理：为了解决上述问题，先假设：H0：性别与晕船无关

（1）由22列联表数据发现：若性别与晕船无关，则应有ac≈；即

≈0，

abcd所以

越小，性别与晕船越无关；

越大，性别与晕船越有关。

（2）为了消除样容本量对adbc的影响，统计学中构造了一个随机变量：

K2

，

其中n

为样本容量

若H0成立，即性别与晕无船关，则adbc应该很

，所以K应该很

2

（3）如何判断K是大还是小？

①确定一个数k0：当K≥k0时，认为“两个分类变量有关系”，否则认为“两个分类变量没有关系”

②k0称为判断规则的临界值，在H0成立的情况下，

把“两个分类变量没有关系”错误地判断为“两个分类变量有关系”的概率为P(K2k0)

③临界值k0表：

22P(K2k0)

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2(abcd)(adbc)2引例中：随机变量：K

(ab)(cd)(ac)(bd)在假设性别与晕船无关的前提下，由上表可知P(K2由上面计算可知K=

，∴P(K22)

)

我们只有小于

的把握相信H0（性别与晕船无关）成立

结论：我们认为在犯错误的概率不超过

的前提下，认为晕与船性别有关。

或者说：有

%以上的把握认为晕船与性别有关。

2、独立性检验：上面这种利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。

3、反证法原理与独立性检验原理的比较

反证法原理

在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立

在假设H0下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率

四、独立性检验解题步骤：

1、列出两个分类变量的22列联表（确定a,b,c,d,n的值）

2、利用公式计算出随机变量K的观测值

3、根据实际的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界，然后查表定临界值k0

4、如果Kk0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；

否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下，不能判断“两个分类变量有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持此结论。

222独立性检验原理

变式1：在一次航海过程中调查了共100名男女乘客的晕船情况，其中男乘客80人，女乘客20人，晕船的男乘客12人，晕船的女乘客8人，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为晕船与性别有关系？（是否有90%的把握认为晕船与性别有关系？）

解：根据题意可得列联表：

男

女

合计

晕船

12 8 20 不晕船

68 12 80 合计

80 20 100 (abcd)(adbc)2100(1212688)2∵K

20802080(ab)(cd)(ac)(bd)2

=6.25>2.706 变式2：在一次航海过程中调查了共100名男女乘客的晕船情况，其中男乘客80人，女乘客20人，晕船的男乘客12人，晕船的女乘客8人，能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为晕船与性别有关系？（是否有99%的把握认为晕船与性别有关系？）

五、练习：