3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义10分钟试讲教案

（

高二

）年级（

数学

）科组集体备课教学设计

课题

3.2.1复数代数形式的四则运算1 课时安排

复备老师

1课时

主备人

张如庆

集备组

数学备课组

张如庆

教学内容

知识与技能：

掌握复数的加减法运算及意义

过程与方法：

理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义

个性复备内容

教学目标

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 教学重点

教学难点

教学方法

教辅工具

复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．

复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

本课采用“探究——发现”教学模式多媒体（PPT）、课本、黑板、三角板等

1

第（ 1 ）课时

本课教学要点：

1、教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．

2、教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教学步骤及过程：

一、

复习旧知，导入新课：

1. 与复数一一对应的有？

2. 试判断下列复数14i,72i,6,i,20i,7i,0,03i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。

3. 同时用坐标和几何形式表示复数z114i与Z272i所对应的向量，并计算OZ1OZ2。向量的加减运算满足何种法则？

4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？

二、

新知传授，落实目标：

21.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即

i1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，

原有加、乘运算律仍然成立

2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1,

i4n+3=-i,

i4n=1

4.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

5. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

6 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 7. 复平面、实轴、虚轴：

yZ(a，b)点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bb∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

oax实轴上的点都表示实数

2

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，

它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数zabi复平面内的点Z(a,b)

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法

一一对应8.若A(x,y)，O(0,0)，则OAx,y

9. 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，

ab(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

10. 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

即

AB=OBOA=( x2, y2)  (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1)

一．复数代数形式的加减运算

１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2.

复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3.

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.

4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i) =［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i

=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i

=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.

3

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i

∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律

（三）典例解析

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i

例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i) 解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i) =(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i. 解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，

(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，

……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i. 相加得(共有1001个式子)：

原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i

二.复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).

平面向量OZ

１．复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ

2.

复数zabi3.复数加法的几何意义：

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、一一对应一一对应OZ2，即OZ1、OZ2的坐标形式为OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，

∴OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i

4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于OZ2Z1Z，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

4

例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内所

对应的点在第几象限？

解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i，∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，

∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内. 例4

复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用ADBC，求点D的对应复数. 解法一：设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是：ADODOA=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; BCOCOB=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i. ∵ADBC，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，∴例2图

x11,x2,解得

y23,y1.(x+yi)=0，∴x=2，y=－1.故点D对应的复数为2－i.

点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，

往往能起到启迪解题思路的作用

三、

当堂检测，反馈效果：

1.已知复数z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2－z1在复平面内所表示的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是

5

A.5－9i

B.－5－3i

C.7－11i

D.－7+11i

3.已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长为

A.32

B.22

C.2

D.5

4.复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

5.一个实数与一个虚数的差（

）

A.不可能是纯虚数

B.可能是实数

C.不可能是实数

D.无法确定是实数还是虚数

6.计算(－23i)(32i)[(32)(32)i]=____. 7.计算：(2x+3yi)－(3x－2yi)+(y－2xi)－3xi=________(x、y∈R). 8.计算（1－2i)－(2－3i)+(3－4i)－…－(2002－2003i). 9.已知复数z1=a2－3+(a+5)i,z2=a－1+(a2+2a－1)i(a∈R)分别对应向量OZ1、OZ2（O为原点），若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值.

10．已知复平面上正方形的三个顶点是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它的第四个顶点D对应的复数. 解：设D（x,y),则ADODOA对应的复数为(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i

BCOCOB对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i

∵ADBC

∴(x－1)+(y－2)i=1－3i∴∴D点对应的复数为2－i。

答案：1.B

2.C

3.A

4.A

5.C 6.－22i

7.(y－x)+5(y－x)i

8.解：原式=(1－2+3－4+…+2001－2002）+(－2+3－4+…－2002+2003)i=－1001+1001i

x11x2,解得

y23y1

6

四、归纳小结：

理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义

五、作业训练：

分层训练与测评第93页

教学反思（得与失）：

7