2.2.2 直线方程的几种形式教案设计范例

3.2.3 直线的一般式方程

潮州市高级中学 方植楷

教学目标

1.知识与技能：

（1）通过推导，了解直线都可以表示成一般式方程；

（2）理解直线一般式方程系数的意义；

（3）会判断一般式方程的平行垂直问题. 2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力. 3.情感态度价值观：

（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

重点难点

1.教学重点：了解直线都可以表示成一般式方程，会判断一般式方程的平行垂直问题

2.教学难点：理解直线一般式方程系数的意义. 教学过程

（一）复习引入：

1、直线方程的几种形式：

形式

点斜式

斜截式

条 件

过点P1(x1,y1)，斜率为k

斜率为k，在y轴的截距为b

方 程

应用范围

yy1k(xx1)

ykxb

k存在

k存在

yy1xx1

两点式

过不同两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)

y2y1x2x1截距式

在x轴、y轴上的截距分别为a、b

k存在

k存在且k0且不过原点

xy1

ab思考：以上方程有什么共同的特点？

（有限制的一元二次方程表示有特定范围的直线）

有没有适用任意直线的直线方程？

（二）讲授新课：

1、二元一次方程与直线的关系：

问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？

对直线的倾斜角α进行讨论：

① 当90时， 直线斜率为ktan，其方程可写成：ykxb，可变形为：

（如图）

AxByC0，其中：A = k，B = – 1，C = b；A、B不同时为零。y y O l x

② 当90时，直线斜率不存在，其方程可写成xx1的形式，

也可以变形为：AxByC0，其中：A = 1，B = 0，Cx1。

（如图）

结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程AxByC0（A、B不同时为零）来表示。

问题2：每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？

对B分两种情况进行讨论：

① 当B0时，AxByC0可化为：y为bOx1 x

ACAx，它表示斜率为k，在y轴上的截距BBBC的直线；

BC，表示与y轴平行（C0）或重合（C

A② 当B = 0时，则A0，AxByC0可化为x= 0）的直线。

结论2：任何关于x、y的二元一次方程AxByC0（A、B不同时为零）都可以表示平面直角坐标系中的一条直线。

2、直线的一般式方程：

把关于x、y的二元一次方程AxByC0（A、B不同时为零）叫做直线的一般式方程，简称一般式。

注：（ⅰ）在平面直角坐标系中，表示任何一条直线的方程都是关于x、y的一次方程；

反之，每一个关于x、y的一次方程都表示直角坐标系中的一条直线。

（ⅱ）直线方程的特殊形式与一般形式可以互相转化。

3、探究：

在方程AxByC0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：

(1)

垂直于y轴 A=0 (2)垂直于x轴 B=0

(3)与x轴重合 A=0且C=0

(4)与y轴重合 B=0且C=0

(5)过原点 C=0

附加：（1）斜率存在的直线 （2）斜率不存在的直线

说明：引导学生从直线与方程的一一对应关系去探究。

（三）例题剖析：

例5、已知直线经过点A(6,4)，且斜率为解：点斜式方程：y44，求直线点斜式和一般式的方程：

34(x6)； （2）一般式方程：4x3y120；

3对于直线方程的一般式，规定：

1)x的系数为正;

2)x,y的系数及常数项一般不出现分数;

3)按含x项，含y项、常数项顺序排列.

例6、把直线l的一般式方程x

– 2y + 6 = 0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。

解：将直线l的一般式方程化成斜截式y11x3，因此，直线的斜率k，它在22y轴上的截距是3。

在直线l的方程x

– 2y + 6 = 0中，令y = 0，得x =

– 6，即直线在x轴上的截距是

– 6。

由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A（–

6，0），B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l的图形（如图）。

注：求截距可以引导学生把一般式化为截距式，再由截距式观察而得。

（四）分组活动：

活动内容：

一、五个小组组长，各写一个对应的直线方程，

二、每个小组各派一个同学上黑板写出对应的另外4种直线方程

三、五个小组其他成员检查对应小组的回答情况

（五）归纳总结

（六）课后练习及作业布置：

1、作业：课本P99，练习第2、3题。

2.根据下列条件，写出直线的一般式方程：