1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球教案和学案内容

《球与多面体的切接问题》教学设计

课名

课时

教学

目标

球与多面体的切接问题

1 授课教师

课型

顾敏

新授课

1．知识与技能

（1）认识并理解球与多面体切、接的位置关系. （2）掌握空间几何问题降维转换为平面图形求解的方法. 2. 过程与方法

在动画演示的直观建立下，能够运用降维的思想，采用三角形相似比和勾股定理的方法分别计算得到正方体的棱长与球半径的关系以及正四面体的棱长与球半径的关系. 在探究过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力，同时训练学生准确地计算能力. 3.情感、态度与价值观

通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦. 在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。

（1）正确认识球与多面体的切接关系. （2）降维思想的培养. 准确计算得到在切与接不同情况下，多面体的棱长与球半径的关系.

粉笔，三角板，多媒体课件

我所教学的学生是高一（1）班的学生. 作为普通高中的学生，他们经过三个月的高中数学学习，渐渐适应了新阶段的学习方式，部分学生的智力发展已到了形式运演阶段，也具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓. 在几何模块的教学中，我在授课时注重给他们建立几何直观，尽量采用动画演示的形式，加深理解多面体与球体的位置关系，同时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．

1．教法

（1）启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性．

（2）自主探究：可以给学生独立思考的时间，加强自己解决问题的能力. （3）小组合作探究法：有利于学生进行交流，思维的碰撞,并能够及时发现问题，解决问题，也调动了学生的积极性．

2．学法

引导学生首先从动画演示认识多面体与球体的切接关系，利用降维思想，采用三角形相似比和勾股定理的方法分别计算得到正方体的棱长与球半径的关系以及正四面体的棱长与球半径的关系. 在探究过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力，同时训练学生准确地计算能力. 一：创设情境，引入新课

计算：

1、正四面体的斜高（设棱长a）

斜高

教学重点

教学难点

教具

学情分析

设计思路

教学过程

设置意图

复习正四面体的定义，并由学生计算斜高与高，实质为下面探究球与正四面体的切接问题时的计算做好铺垫.

共4页，第1页

2、正四面体的高（设棱长a）

高

观察：这些美丽的的图片，你发现了什么？

生：图片都是由球和多面体组成的. （教师演示球放在正方体中，半径在不断变大的过程，依次与面、棱和顶点接触的动画）

二、动画演示，归纳定义

思考：球与多面体的切和接是什么意思？

定义1：若一个多面体的各面都与一个球的球面

相切

，则称这个多面体是这个球的

外切多面体

，这个球是这个多面体的

内切球

. 定义2：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面

上

，则称这个多面体是这个球的

内接多面体

，这个球是这个多面体的

外接球

.

思考：

1、球心如何确定？

2、球半径

与多面体的棱长

的关系？

三、自主探究与合作探究，得出结论

探究一：球与正方体的切接问题

1、正方体内切球（球外切正方体）

2、正方体棱切球

引入球与多面体的切接问题.

由学生总结定义.

设置问题，引起学生兴趣

学生自主探究，独立思考完成.

共4页，第2页

学生展示自己的完成情况.

结论：

1、内切球半径与棱长的关系：

内

2、棱切球半径与棱长的关系：

棱

3、外接球半径与棱长的关系：

外

4、

内：

棱：

外

：

：

探究二：球与正四面体的切接问题

（教师演示球放在正四面体中，半径在不断变大的过程，依次与面、

教师启发学生采用降维的棱和顶点接触的动画）

思想，相似三角形和勾股定1、正四面体内切球（球外切正四面体）

理的方法解决问题

2、正四面体棱切球

3、正四面体外接球（球内接正四面体）

3、正方体外接球（球内接正方体）

共4页，第3页

结论：

1、内切球半径与棱长的关系：

内

2、棱切球半径与棱长的关系：

棱

3、外接球半径与棱长的关系：

外

实际上，我们选取的三角形里面包含了内切球半径，棱切球半径和外接球半径的全部信息.

课堂小结，巩固学习的知识点以及所用的研究方法.

设置思考题，发散思维. 4、

内：

棱：

外

：

：

课堂小结

1、内切球球心到多面体各

面

的距离均相等，

棱切球球心到多面体各

棱

的距离均相等，

外接球球心到多面体各

顶点

的距离均相等. 2、正多面体的内切球和外接球的球心

重合

. 3、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

思考：你还有更好的方法来研究球半径与正四面体棱长的关系吗？

割补法

板书设计

球与多面体的切接问题

探究一：球与正方体的切接问题

内

棱

外

内：

棱：

外

：

：

探究二：球与正四面体的切接问题

内

棱

外

内：

棱：

外

：

：

共4页，第4页