1.1.7 柱、锥、台和球的体积名师教学设计2

《柱、锥、台和球的体积》教学设计

一、教学目标

1．知识与技能

1)

理解祖暅原理；

2)

掌握柱、锥、台和球的体积公式，并能求解简单几何体的体积；

3)

能够解决组合体及三视图中体积的有关问题。

2．过程与方法

通过本节学习，培养学生的转化能力和空间想象能力，培养学生归纳总结和抽象概括的能力，进而形成科学的思维方法和良好的思维品质。

3．情感、态度与价值观

通过本节学习，使学生了解数学家祖暅，增强民族自豪感，体会获得知识的愉悦，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

二、教学重点、难点

重点：柱体、锥体、台体和球体的体积公式，计算简单几何体的体积。

难点：组合体及三视图中体积的计算。

三、教学方法

讲练结合

四、教具

多媒体、东师理想云教学平台

五、教学过程

（一）设疑导入

1

思考：取一摞作业本放在桌面上（如图所示），并改变它们的放置方法，观察改变前后作业本的体积是否发生改变？从这个事实中你得到什么启发？

改变前后作业本体积相等的条件：

1.高度相同；

2.同一层上每页纸大小（面积）一样；

3.每层均与放作业本的桌面平行。

这个例子应用的是我国南北朝时期数学家祖暅提出的“祖暅原理”——幂势既同，则积不容异。其中，“幂”是截面积，“势”是几何体的高。这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。（引申得到：等底面积，等高的两个柱体或椎体的体积相等）

环节：播放动画，帮助学生形象地理解“祖暅原理”。

“祖暅原理”是我国古代研究几何体体积的理论基础，也为我们今天学习几何体体积打下了基础。

（通过具体实例引入，有助于帮助学生更好地理解“祖暅原理”，从而顺利进入本节课内容的学习）

（二）探索新知

1．棱柱和圆柱的体积

思考1：设有一个长方体、一个圆柱和一个棱柱，它们的底面积都等于S，高都等于h，它们的下底面都在同一平面上，它们的体积有什么关系，为什么？（由学生回答，我进行必要的补充和完善）

设答：体积相等。由棱柱、圆柱的性质我们可以知道，平行于底面的截面与底面全等，也就是说这三个柱体的截面积总是相等的，且这三个几何体的高相等，由“祖暅原理”可知，这三个几何体的体积相等。

2

思考2：圆柱的体积和长方体的体积如何计算，同学们能不能通过它们的体积求得棱柱的积呢？

（应用祖暅原理，通过知识迁移的方式得到棱柱体积的计算公式）

底面半径是R，高是h的圆柱体的体积的计算公式是柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积。即2.棱锥和圆锥的体积

师：在小学的时候，我们就通过实验的方法验证了圆锥体积的计算方法，圆锥的体积怎么计算呢？

生：圆锥的体积是等底面积、等高的圆柱体积的三分之一。

如果圆锥的底面半径是R，高是h，则它的体积是师：棱锥的体积如何计算，它与棱柱之间有什么关系吗？

环节：播放动画。

（抛出问题，引发学生思考，再通过动画演示的方式，对一个三棱柱进行切割，及不同角度的展示，使学生直观体会到棱锥体积和棱柱体积的关系，从而得到棱锥的体积计算公式。）

如果一个椎体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是3.棱台和圆台的体积

提问：棱台和圆台分别是如何得到的？

设答：棱台和圆台分别是由棱锥和圆锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分分别为棱台与圆台。

思考：台体的体积如何计算？

3

设答：还台为锥。

（台体体积公式的推导计算过程不要求学生掌握，这里直接给出公式，并停留1分钟时间给学生用于公式记忆，之后进行提问。）

台体计算公式：面积，h是台体的高。

，其中，，分别是台体上、下底面的特别地，如果圆台的上、下底面的半径分别是r，

4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

1V棱台h(SSSS)

3，高是h，则它的体积是S = S′

V柱体

= Sh

S′= 0 1V锥体=Sh

3

5.球的体积

（对球的体积公式不进行特别的说明与推导，使学生能够牢记公式，并进行实际应用即可。）

，其中R为球半径。

（三）例题讲解

例1.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，用截面截下一个棱锥C-A1DD1，求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比。

解：（法一：以△A1DD1为棱锥底面）设长方体底面ADD1A1面积为S，高为h，则长方体体积V=Sh. 4 D1 A1 D

A

B

B1 C1 C

棱锥C-A1DD1的底面面积为，高为h，则棱锥体积V1=1/3*1/2*Sh=1/6*Sh

余下的体积是

Sh-1/6*Sh=5/6*Sh

所以，棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1:5.

（法二：以△CDD1为棱锥底面）

例2.有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如图)，共重5.8kg，已知螺帽的底面正六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径为10mm，这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是7.8g/cm3,≈3.14)？

解：

V正六棱柱=6*1/2*12*(12*sin60。)*10≈3.74*103 (mm3)

V圆柱≈3.14*(10÷2)2*10=0.785*103 (mm3) 故，一个螺帽的体积

V=3.74*103-0.785*103≈2.96*103 (mm3)=2.96 (cm3) 约有5.8*103÷(7.8*2.96)≈2.5*102（个）

答：这堆螺帽约有250个。



计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积和。

（四）随堂练习

1.已知圆锥的高为10，底面半径为3，则圆锥体积为

30π

。

2.已知长方体的铜块长、宽、高分别是2，4，8，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不计损耗），则铸成的铜块的棱长为

4 。

3.一个球的表面积是16π，则它的体积是

。

4.右图是一个几何体的三视图(单位：cm)，它的体积是

。

5

（五）总结提升

（六）课后作业

1.理解并记忆几何体面积和体积公式表格。

2.教材P32-练习A、B 3.课时作业[8] A级

基础巩固

六、板书设计

1．棱柱和圆柱的体积

2.

棱锥和圆锥的体积

3.棱台和圆台的体积

4.球的体积

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