1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用特级教师教学实录

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

东莞市第一中学

张小勇

一、内容和内容解析

1．内容：独立性检验的基本思想及实施步骤 2．内容解析：《独立性检验的基本思想及其初步应用》为新课标教材中新增加的内容，理论比较复杂，教学时间也不长(约3课时)，但由于它贴近实际生活，在整个高中数学中，地位不可小视.在近几年各省新课标高考试题中，本节内容屡屡出现，而且多以解答题的形式呈现，其重要性可见一斑. 本节课是人教A版（选修）1-2第一章第二小节第一课时的内容．在《数学3（必修）》概率统计内容的基础上，通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用.在本课之前，学生已经学习过正态分布及回归分析的基本思想及初步应用.本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节. 在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤.独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的.因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据. 学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”.这是因为，现实中类似的问题大量存在，如何得出准确的推断，这就需要科学的方法，独立性检验就是其中一种常用的统计方法. 本节的重点内容是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤. 教学重点：了解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤.

二、目标和目标解析

1．目标：

（1）理解分类变量的含义，体会两个分类变量之间可能具有相关性. （2）通过探究典型案例“吸烟是否与患肺癌有关系”，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想，明确独立性检验的基本步骤，会对两个分类变量进行独立性检验，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题.

（3）通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系.以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性. 2．目标解析： 独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法．利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．因此，在学习中通过对统计案例的分析，理解和掌握独立性检验的方法，体会独立性检验的基本思想在解决实际问题的应用，以提高我们处理生活和工作中的某些问题的能力．

三、教学问题诊断

1．本节课的内容独立性检验对学生来说是全新的内容，为什么有这么一个方法？为什么要学习这个方法？通过典型案例“吸烟是否与患肺癌有关系”的研究，可以让学生体会到本

1

节课知识的应用性. 2．独立性检验的步骤是固定的，仿照教科书的例题，学生不难完成习题，但独立性检验的思想对学生来说是比较难理解的，教学中如何结合例子介绍独立性检验的思想，才能使得学生很好的理解是一个教学难点.在教学过程中，采用了与反证法做类比，帮助学生理解独立性检验的思想.两者都是先假设结论不成立，然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结论是否成立.但二者“矛盾”的含义不同，反证法中的“矛盾”是指一种不符合逻辑事情的发生；而独立性检验中的“矛盾”是指一种不符合逻辑的小概率事件的发生，即在结论不成立的假设下，推出有利于结论成立的小概率事件发生.我们知道，小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，因此认为结论在很大的程度上是成立的.这样做了类比后，可以很好的帮助理解独立性检验的基本思想. 3．独立性检验难于理解的一个主要之处在于凭空出现一个K2，这个随机变量K2是怎样构造出来的，为什么如此构造？教材在这一部分处理上，是先进行某一临界值的讲解，而后再给出K2临界值表，这对于学生是比较难于理解的，为什么就给出这么一个临界值呢？有这个问题的存在，学生对接下来所谈到的内容会有所怀疑，不一定十分认同.为了突破这个难点，我采用“先入为主”的思想，把教材后面介绍的K2临界值表提前讲解，用概率知识解读临界值表的含义，让学生先接受统计学上的知识，而后在应用过程中进一步理解，这样进行调整后，学生对独立性检验的思想的接受就更容易一些. 教学难点：①了解独立性检验的基本思想；

②了解随机变量K2的含义.

四、教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，从学生的认知规律出发，让学生自主学习，运用探究式法，充分调动学生的积极性，让学生逐步领会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的方法.

五、教学过程设计

1．情境创设

先介绍分类变量的概念：对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．在现实生活中，分类变量是大量存在的，例如是否吸烟，宗教信仰，国籍，等等．

在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否有关系．例如，吸烟与患肺癌是否有关系？性别对于是否喜欢数学课程有影响？等等．

为研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）

表1-7 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

7775 42 7817 吸烟

2099 49 2148 总计

9874 91 9965 根据上述调查数据. 【提出问题】“吸烟是否对患肺癌有影响？”

【预设回答】像表1-7 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．由吸烟情况和患肺癌情况的列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54 ％患有肺癌；在吸烟者中，

2

有2.28％患有肺癌．因此，直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异．

【设计意图】数学教学只有从问题开始才有其生命力，创设一个实际问题情境，既回顾了前面所学的内容，又提出本节课研究的问题.同时使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性． 【引导性语言】与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．

将列联表中的数据输入到Excel表格中，将数据呈现到图形上，用计算机演示等高条形图. 图1.2-1就是一个等高条形图，其中两个浅色条的高分别表示吸烟和不吸烟样本中不患肺癌的频率；两个深色条的高分别表示吸烟和不吸烟样本中患肺癌的频率.让生观察图形，总结可以得出什么样的结论？ 1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌

图1.2-1 【提出问题】“从等高条形图中，你认为吸烟是否对患肺癌有影响吗？若有，有多大把握认为你所得出结论正确？”

【学生活动】学生分组讨论. 【设计意图】学生在看到等高条形图后就很快就能回答出第一个问题，但对第二个问题就会没有解决的思路，这样可以让学生带着问题进入到下面的学习中，同时明确本节课的核心问题突出重点.

2．探究升华

（1）启发探究 【引导性语言】通过数据和图形分析，我们得到的直观判断是“吸烟和患肺癌有关”，那么这种判断是否可靠呢？我们可以通过统计分析回答这个问题. 为了回答上述问题，我们先假设

H0：吸烟与患肺癌没有关系．

把表1-7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：（表1-8）

表1-8 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌

患肺癌

总计

a

ab

b

不吸烟

吸烟

总计

c

d

cd

ac

bd

abcd

3

【提出问题】在假设H0成立的条件下，能推导出a，b，c，d有怎样的关系？ 【学生活动】利用列联表推导. 【预设回答】如果“吸烟与患肺癌没有关系”，那么吸烟样本中不患肺癌的比例应该与不吸烟样本中相应的比例差不多，即

ac

abcda(cd)c(ab)

adbc0

因此adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强. 【设计意图】要研究两个分类变量有关系是不容易解决的问题，本着“正难则反”的思想方法，借助反证法的思考模式，将问题转化为两个分类变量独立，用频率代替概率，利用列联表由学生自己动手推导出，在H0成立的条件下有adbc0，进而引出随机变量K2. （2）新知解读

【引导性语言】为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量

nadbcK2 （1）

abcdacbd2其中nabcd为样本容量．

若

H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应该很小．根据表1-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2

的观测值为

9965777549422099k56.632. 78172148987491这个值到底能告诉我们什么呢？

统计学家们经过研究后，还得到了如下的K2临界值表：

表1-11 K2临界值表

2P(K2k0)

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 以k06.635为例，P(K26.635)0.010，这说明，在H0成立的情况下，K2的观测值大于6. 635 的概率非常小，近似为0 . 010，是一个小概率事件．在该规则下，有理由断定H0不成立，但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.010．

4

【设计意图】随机变量K2的理解是本节课的难点之一，利用概率知识解读K2临界值表中数据的含义，有助于学生理解独立性检验的基本思想.本环节我没有按照教材的呈现顺序，而是将K2临界值表提到前面来讲解，这样改变后能使学生首先了解随机变量K2的含义，并能体会到如果K2的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的合理性，为后面引出独立性检验的规则做好铺垫，达到突破难点的目的.

（3）分组讨论 【提出问题】现在K2的观测值k≈56.632 ，利用K2临界值表和K2的观测值k判断：接受H0，认为吸烟与患肺癌没有关系；还是拒绝H0，认为吸烟与患肺癌有关系. 【学生活动】利用K2临界值表和K2的观测值k进行小组讨论，选择他们认为正确的结论. 【预设回答】由于K2的观测值k≈56.632 ，远远大于6. 635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.010. 【设计意图】让学生自己通过对K2临界值概率的理解，亲身去体会是接受H0还是拒绝H0，实现教学重点，即理解独立性检验的基本思想.本环节设计为由学生先进行小组讨论，有些学生不会利用所学知识来分析问题，通过小组讨论，用集体的力量来进行知识的学习，能增强学生对独立性检验的了解，并体会到合作的有效作用. （4）数学构建

【引导性语言】上面解决问题的想法类似于反证法. 要判断“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即

H0:“两个分类变量没有关系”

成立．在该假设下我们所构造的随机变量K2应该很小．如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则断言H0不成立，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值k很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝H0．

怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，当kk0时就认为

K2的观测值k大．此时相应于k0的判断规则为：如果kk0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系“.我们称这样的k0为一个判断规则的临界值．按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为P(K2k0).

5

上面这种利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验（test of independence）．

【学生活动】独立性检验的想法类似于反证法，同学们进行小组讨论，比较两者的区别和联系. 【预设回答】表1-9给出了反证法原理与独立性检验原理的比较，这种比较能帮助我们更好地理解独立性检验原理. 表1-9 反证法原理与独立性检验原理的比较

反证法原理

在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立. 独立性检验原在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，理

且该推断犯错误的概率不超过这个小概率. 【设计意图】将独立性检验和反证法作类比，加深学生对独立性检验思想的理解.学生先分组进行讨论，而后让学生总结二者的区别和联系，培养学生学会用联系的观点看问题.

（5）总结提升

【提出问题】你能从上述探究过程中总结出一种直观判断两个分类变量有关系的思路吗？直观判断有何不足？

ac【预设回答】通过直观判断，若能发现发现和相差很大，就判断两个分类变abcd量之间有关系.但不足之处在于不能给出判断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验则可以弥补这个不足. 【提出问题】通过上面的学习过程，你能归纳独立性检验的一般步骤吗？ 【预设回答】

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为｛x1,x2｝和｛y1,y2｝, 其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：

表1-10 2×2列联表

y1

y2

b

d

总计

ab

cd

x1

x2

若要推断的论述为

a

c

总计

ac

bd

abcd

H1:x与y有关系，

如果通过直接计算或观察等高条形图发现ac和相差很大，就判断两个分类变量abcd之间有关系. 上面这种直观判断的不足之处在于不能给出判断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验则可以弥补这个不足.独立性检验的具体做法是：

①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界，然后查表1-11确定临界值k0.

6

表1-11 K2临界值表

P(K2k0)

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②利用公式（ 1 ) ，计算随机变量K2的观测值k. ③如果kk0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有分析足够证据支持结论“X与Y有关系”．

【设计意图】让学生再次经历问题解决的过程，既深化对该统计思想的理解，又掌握应用独立性检验解决问题的步骤.

3．知识应用

【引导性语言】课前各小组都收集了你们感兴趣的分类变量的相关数据，利用本节课我们所学的独立性检验进行判断，看各自有对大的把握认为它们有关系？ 【学生活动】小组内进行检验，而后每小组由一名学生进行研究成果展示. 【设计意图】各小组将各自收集的分类变量数据进行独立性检验，并将检验结果展示给全体同学，加深本组及其它各组学生对独立性检验思想的理解，体验数学在实际生活中的应用.同时用学生收集的分类变量数据做练习，更能提高学生的参与兴趣. 4．小结引申

由学生谈本节课学习的收获，并对所学内容进行归纳. 【设计意图】初步形成以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性.

六、目标检测设计 作业为教材第16页 习题1.2 第1、2题. 【设计意图】通过作业进一步构建独立性检验的思想体系.

7