探究与发现 子集的个数有多少优秀教案板书设计

分类加法计数原理与分步乘法计数原理（教案）

一、教材分析

计数问题是数学的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。两个计数原理不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终。从思想方法看，两个计数原理的运用实际上就是将一个复杂问题分解为若干“类别”或“步骤”，以达到简化问题的目的。由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理是学好本章内容的关键。

二、学情分析

从学生的认知基础看，学生在必修3已经学习了通过列举法、列表法及树形图等解决计数问题，有了一定数量的计数问题的知识储备。同时，刚刚学习了归纳、类比推理，积累了研究数学问题的基本思维方法与初步经验。

从学生的思维发展看，高二学生思维能力已由形象经验型向抽象理论型转变，能够用归纳、类比等推理来思考和解决问题。但是，由于计数问题与学生熟悉的代数问题有些不同，常常涉及一些复杂关系，很容易造成分析过程中的逻辑混乱，学生在计数过程中容易出现重复或遗漏的情况。

三、教学目标

通过典型的、学生熟悉的实例，引导学生归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理；然后按照从单一到综合的方式，安排适当的实例，引导学生根据具体问题的特征，初步学会区分“分类”和“分步”，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。

四、教学重点和难点

重点：归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理，会用两个计数原理分析和解决一些简单的实际问题。

难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”。

五、教学方法

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引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。

六、教学手段

PPT课件。

七、教学过程

（一）创设情境、设疑导入

出示引例：

1．我班有男生24人，女生13人，从中选一位同学为数学科代表，则有多少种不同的选法？

2．小冉有3条不同款式的裙子，4双不同款式的靴子，某日她要去参加聚会，若穿裙子和靴子，则有多少种不同的穿着搭配方式？

3．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则有多少种不同的选法？

4．从甲地去乙地的交通工具有3种，从乙地去丙地的交通工具有2种，从甲地经过乙地去丙地，则有多少种不同交通工具的选法？

设计意图：通过具体的实例，设置问题情境，引出计数问题，激发学生的求知欲。

（二）探究归纳、得出原理

探究一：1．观察引例1和3，它们有什么共同特征吗？

学生回答，引导学生概括到“分类”和“加法”上。再由学生叙述分类加法计数原理，教师适当补充，得出分类加法计数原理，板书分类加法计数原理：

分类加法计数原理：

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法．

设计意图：从学生熟悉的实例入手，概括获得分类计数问题的特征，得出分类计数原理，采用“归纳式”教学，让学生经历概念的形成过程，顺应了同学们的认知规律。

2.如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

引导学生类比两类不同方案的情形，让学生给出答案：

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推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2......mn种不同的方法．

设计意图：从特殊到一般，推广原理，加深学生对原理的理解。

探究二1．观察引例2和4，它们有什么共同特征吗？它们与引例1和3有什么不同？

引导学生分析、比较，得出完成前一问题的方法可以分类，这里要分步才能完成。进一步引导学生用树形图解决问题2和4，从而概括到“分步”和“乘法”有关，得出分类加法计数原理，板书分类加法计数原理：

分步乘法计数原理：

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法．

引导学生类比分两步完成任务的情形，让学生得出分步乘法计数原理的推广形式。

推广：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2

种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2......mn种不同的方法．

设计意图：类比地引出分步乘法计算原理，进一步培养学生的归纳总结能力。

（三）知识应用、领会原理

例1 一班有学生50人，其中男生30人；二班有学生60人，其中女生30人；三班有学生55人，其中男生35人．

(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？

(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部部长，有多少种不同的选法？

例2

店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？

学生活动：尝试独立解答例题。

教师活动：打开PPT，出示问题，引导学生分析要完成的“一件事”是什么，学会区分“分类”和“分步”，强调解题格式，板演部分解题过程。

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设计意图：及时巩固所学的新知，通过例题，使学生在学习新知识的同时能加以应用，使学生体验到学习数学过程中的成就感。

变式训练：1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________个. 2．某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则有________种不同走法. 3．(2016年新课标Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

) A．24

B．18

C．12

D．9 4．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，每门学科只有一名冠军产生，有________种不同的冠军获得情况．

5．有4名同学参加3项不同的比赛，每名学生必须且只需参加一项比赛，则不同的结果有________种．

设计意图：通过变式练习，加深学生对原理的理解，能根据题目的特征合理分类或正确分步。

（四）综合应用、巩固提高

例3 艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？

设计意图：通过设计两个计数原理的综合应用题，训练学生认真审题，弄清题意，解题时分清先“分类”还是先“分步”，同时要避免解题时出现分类不全或分类有叠加的现象。

变式训练：

1.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．

(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同选法？

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？

(3)从这些画中选出两幅不同种的画布置房间，有几种不同的选法？

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2．把9个相同的小球放入编号为1,2,3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有多少种？

3．从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种在土质不同的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？

设计意图：通过变式练习，加深学生对原理的理解，能根据题目的特征合理分类或正确分步。

（五）反思总结、归纳升华

1．“分类”是加法原理的标志，要做到：在同一标准下进行分类，分类不重不漏。

2．“分步”是乘法原理的标志，要做到：一类中分步标准一致，步骤关联、连续、

独立，确保对每一类事件的分步不重不漏。

设计意图：培养学生的归纳概括能力和语言表达能力。

（六）分层作业、学以致用

必做题：《全优课堂》P59基础练习

选做题：《全优课堂》P60能力提升

设计意图：面向全体学生，注重个人差异，加强作业的针对性，对学生进行分层作业，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，进一步达到不同的人在数学上得到不同的发展。

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