1.1.1 构成空间几何体的基本元素优秀教学设计

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课

题：8．2椭圆的简单几何性质（四）

教学目的：

1. 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数a,b的含义．

2．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力

教学重点：进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导.

教学难点：深入理解推导方程的过程.灵活运用方程求解问题. 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入： 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

x2y2y2x22．标准方程：221，221

（ab0）

ababx2y23．椭圆的性质：由椭圆方程221(ab0)

ab(1)范围:

axa,byb，椭圆落在xa,yb组成的矩形中．

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(2)对称性:图象关于y轴对称．图象关于x轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：

A(a,0),A2(a,0)，B(0,b),B2(0,b)加两焦点F1(c,0),F2(c,0)共有六个特殊点.

A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2b

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点

(4)离心率:

椭圆焦距与长轴长之比ecbe1()20e1

aa椭圆形状与e的关系：e0,c0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e0时的特例

e1,ca,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e1时的特例

4.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆

其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

5．椭圆的准线方程

x2y2a2a2对于221，左准线l1:x；右准线l2:x

ccaby2x2a2a2对于221，下准线l1:y；上准线l2:y

ccabwww.3edu.net

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a2a2c2b2焦点到准线的距离pc（焦参数）

ccc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称

6．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）（右焦半径）r2aex0,r1aex0,其中e是离心率 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：MF1aey0MF2aey0（

其中F1,F2分别是椭圆的下上焦点）

焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关

可以记为：左加右减，上减下加

二、讲解新课：

1.问题：如图，以原点O为圆心，分别以a,b (ab0)为半径作两个图，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作NA⊥OX垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M．求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程

解答：设A的坐标为(x,y),NOA，取

为参数，那么

xON|OA|cos

yNM|OB|sinxacos也就是 (为参数)

ybsinyBAMNxO这就是所求点A的轨迹的参数xacosxacos将变形为

yybsinsinb方程

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x2y2发现它可化为221(ab0)，说明A的轨迹是椭圆

ab2.椭圆的参数方程三、讲解范例：

xacos(为参数)

注意：角不是角NOM

ybsin例1把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程

x3cosx2y21

(1)(为参数) (2)8y4sinx3cosx2y2解：(1)(为参数)

221

34y4sinx22cosx2(为参数)

(2)y21

8ysinxcos1例2

已知椭圆(a0,b0,为参数)上的点P(x,y),求xy的2y2sin取值范围. 解：xy＝cossin2sin()2,2

124x2y2例3

已知椭圆221(ab0)与x轴的正半轴交于A,O是原点,ab若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围

解：A(a,0)，设M点的坐标为(acos,bsin)（0得

bsinbsin1

acosaacos2），由MA⊥MOb2cos(1cos)cos11化简得 210,

1cos1cos2asin2b22,1所以 e12

a2www.3edu.net

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四、课堂练习：

1．参数方程x4cos(为参数)表示的曲线的焦点坐标是: 离心y3sin率是: 答案：F1(7,0),F2(7,0)；e7

4x2y22．求椭圆221(ab0)的内接矩形面积的最大值

ab答案：S4acosbsin2absin2Smax2ab

五、小结

：

椭圆的参数方程及形式,与普通方程的互化

椭圆的参数方程的应用

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

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