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不等式选讲

一、本部分高考主要考查

1. 绝对值不等式的解法；

2. 求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围；

3. 不等式的证明等。

结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.

二、考点整合：

1.

绝对值不等式的性质

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立。

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立。

2.

|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.

(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 3. |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解.

(2)利用零点分段法求解.

(3)构造函数，利用函数的图象求解. 4. 绝对值三角不等式定理

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b| 5. 基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立. abab，当且仅当ab时，等号成立。

2abc3abc，当且仅当abc时，等号成立。定理3: 如果a，b，c为正数，则

3定理2: 如果a，b为正数，则定理4:（一般形式的算术----几何平均不等式）如果a1，a2，，an为n个正数，则a1a2anna1a2an，当且仅当a1a2an时，等号成立。

n

三、主要解决的问题

热点一

绝对值不等式的解法

【例1】

(2018·衡水中学质检)已知函数f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|. (1)

求不等式f(x)≥3x＋2的解集；

(2)

若不等式fx1a的解集包含[2,3]，求实数a的取值范围。

x

【训练1】

(2018·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范围.

总结提高：

1.

含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想. 2.

解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.

热点二

绝对值不等式恒成立（存在）问题

【例2】

(2018·郑州调研)设函数f(x)＝|x＋a|＋2a.

(1)若不等式f(x)≤1的解集为{x|－2≤x≤4}，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，若不等式f(x)≥k2－k－4恒成立，求实数k的取值范围.

【训练2】(2018·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋3|. (1)解不等式f(x)<2x＋10；

(2)若不等式f(x)≤m|x＋2|有解，求m的取值范围.

总结提高：

1.

不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决. 2.

绝对值不等式最值问题的求解策略

(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式. (2)转化最值：①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)

②

f(x)>a有解⇔f(x)max>a；f(x)

③

f(x)>a无解⇔f(x)max≤a；f(x)

热点三

不等式的证明

【例3】

(2017·全国Ⅱ卷)已知实数a>0，b>0，且a3＋b3＝2.

证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；

（2）a＋b≤2.

【训练3】

(2018·济南调研)已知函数f(x)＝|x－1|. (1)

解不等式f(x)＋f(2x＋5)≥x＋9；

(2)

若a0，b0，且1492，证明：fxafxb，并求ab2fxafxb9时，a,b的值。

2

总结提高：

1.

证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点. 2.

当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以

“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.

四、练习

1.已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R. (1)当a＝1时，解不等式f(x)≥4；

(2)若∃x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，求a的取值范围.

2.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围.

五、归纳总结

1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法.前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用.

2.利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件，利用基本不等式求最值也必须满足等号成立的条件.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.

3.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.