1.不等式的基本性质名师教学设计

§3.1 不等关系与不等式（一）

宜宾市翠屏区天立学校

闵友渔

教材分析：

不等关系在生活和自然界中普遍存在.不等式是不等关系的数学表达，并且和方程、函数、数列、三角等内容密切相关，在高考试题中不等式往往与其他知识交汇呈现，因此不等式在高考中占有很重要的地位.本节内容是高中系统研究不等式的起始课，通过前面的学习学生已经对函数与方程、三角函数、数列等内容有了一定的认识，通过本节学习可以让学生从具体实例中感知客观世界存在的大量不等关系，了解判断不等关系的方法和不等式的基本性质，为后续进一步研究不等式作准备. 学情分析：

本班是高一重点班，学生整体基础较好.初中对不等式有一定了解，高一上期又对函数的零点、函数与方程有了基本认识，具备一定的抽象概括、数学建模和合情推理的能力.所以本节设计以学生活动为主，以问题探究为主线，通过问题的提出、解决和反思渗透教学内容.重在培养学生的数学学习兴趣，提升学生的活动探究能力，体味数学的生活化. 教学目标：

1.通过生活实例让学生感受现实生活中存在大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握作差比较法. 2.通过小组合作探究感受用不等式表示不等关系的合理、精练，通过对不等式的证明感悟比较法证明不等式，了解证明不等式性质的一般方法. 3.体会数学源于生活、高于生活、用于生活，感受团队协作的力量和精神，培养严谨地研究问题的习惯. 教学重点：用不等式（组）表示不等关系，比较法证明不等式. 教学难点：实际问题如何准确转化为不等式（组），比较法的原理. 教学方法：活动探究，小组合作，问题导向. 教学过程：

一、情景引入

PPT展示自然界中存在的大量不等关系，提出不等关系的符号化表示，体现数学的精练与准确. 二、新知探究

（一）小组合作：糖水的浓度！

1、小组分工：组长、试尝员、记录员、分析师、证明师、展示者；

2、准备一小杯温开水，加入少许白砂糖，试尝味道；

3、记录下口感，尝试用数学式子表示浓度；

4、再加入适量白砂糖，重新试尝并记录口感；

5、对比两次口感，分析口感变化的原因，提炼出一个浅显的结论；

6、尝试用数学表达式表示，并证明这个结论. （二）理性分析：严谨的思维！

分析：加糖前，记糖水的总质量为a克，其中含糖b克(ab0)，则糖水浓度为b；

a 加入m(m0)克糖后，糖水的总质量变为am克，其中含糖bm克，则糖水浓度为bm. am糖水更甜显然是因为浓度变大了，那么如何证明加糖后的糖水浓度更大呢？即如何比较这两个含有字母的代数式的大小呢？

初中我们知道比较两个实数的大小可以用作差的方法：如果ab是正数，那么 ；如果ab等于零，那么 ；如果ab是负数，那么 .反之也成立，就是 .

（三）应用：实践中成长！

建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.

（四）感悟提炼：生活数学化，数学生活化！

从上面的探究过程我们收获了什么？

1、生活中的不等关系可以用不等式表示，更加精练；

2、证明不等式可以使用作差比较法.

（五）演练巩固：强化知识，形成能力！

问题1：某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？

问题2：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.应怎样截更好?

【演练反馈】

1.用不等式表示下面的不等关系：

（1）a与b的和是非负数；

（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m” .

2.有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2.试用不等式表示上述关系（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.

问题3：如何比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小？

【典型例题】

42例1 已知x0，比较x1与xx1的大小. 22

22例2 比较x2x3与x3x2的大小，其中xR.

1.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元，钢笔每支5元.设

他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为x，y，则x，y应满足关系式 _______ . 2.205国道临沂段有限速60km/h的路标，指示司机在此路段行驶时，应使汽车的速度v不超过60km/h，写成不等式为 ________ . 3.一个盒中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球的1，白球与黑球的个数之和至少为55，使用不等式将题中的不等关系表3*示出来（x,y,zN）.

4．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9g、4g、3g，乙种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4g、5g、5g，已知每天使用原料为奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g.写出满足上述所有不等关系的不等式.

5.比较x1x5与x3. 2

6. 比较x23与3x的大小，其中xR.

（六）小结反思：

这节课我学会了什么：

不等式问题可以怎样证明：

作差比较法的基本步骤有哪些：

（七）拓展提升：

1.某厂使用两种零件A、B，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2500件，月产乙最多1200件，而组装一件甲需要4个A、2个B；组装一件乙需要6个A、8个B.某个月，该厂能用的A最多有14000个，B最多有12000个.用不等式将甲、乙两种产品产量的关系表示出来.

2.已知x,yR,比较xy3x3y与xy6的大小.

223.已知a,bR,比较a2ab2b与2b3的大小. 22

（八）板书设计：

3.1 不等关系与不等式 例2、（教师板演）

电子白板

小组合作展示 1、

不等关系符号化

2、

实证检验（学生板演）