2.基本不等式教学设计及课堂实录

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(十)

椭圆的参数方程

一、选择题

x＝acos θ，1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝(

) y＝bsin θ

A．π

C．2π

πB.

23D.π

2解析：选A

∵在点(－a,0)中，x＝－a，∴－a＝acos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π.

x＝2cos θ，2．参数方程(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cos θ所表示的图形分别是y＝sin θ

(

) A．圆和直线

C．椭圆和直线

B．直线和直线

D．椭圆和圆

x＝2cos θ，解析：选D

对于参数方程(θ为参数)，

y＝sin θ

x22利用同角三角函数关系消去θ化为普通方程为＋y＝1，表示椭圆．

4ρ＝－6cos θ两边同乘ρ，

得ρ2＝－6ρcos θ，

化为普通方程为x2＋y2＝－6x，

即(x＋3)2＋y2＝9. 表示以(－3,0)为圆心，3为半径的圆．

x＝4cos θ，3．椭圆(θ为参数)的左焦点的坐标是(

) y＝3sin θ

A．(－7，0)

C．(－5,0)

B．(0，7) D．(－4,0) x＝4cos θ，x2解析：选A

根据题意，椭圆的参数方程(θ为参数)化成普通方程为＋16y＝3sin θ

y2＝1，

9其中a＝4，b＝3，则c＝16－9＝7，

所以椭圆的左焦点坐标为(－7，0)．

x＝cos2θ－1，x＝3cos t，4．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，2y＝1＋sinθy＝2sin t高考资源网版权所有，侵权必究！

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则其交点个数为(

) A．0

C．0或1

2x＝cosθ－1，解析：选B

由

2y＝1＋sinθ，B．1 D．2

得x＋y－1＝0(－1≤x≤0，

1≤y≤2)，

x＝3cos t，x2y2由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有194y＝2sin t

个．

二、填空题

x＝5cos θ，5．椭圆(θ为参数)的离心率为________．

y＝4sin θ

x2y2解析：由椭圆方程为＋＝1，可知a＝5，b＝4，

2516c3∴c＝a2－b2＝3，∴e＝a＝. 53答案：

5x＝3cos θ，6．已知P为曲线C：(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为坐标原点，若直y＝4sin θ

π线OP的倾斜角为，则点P的坐标为________．

4y2x2解析：曲线C的普通方程为＋＝1(0≤y≤4)，易知直线OP的斜率为1，其方程为169y＝x，

y＝x，2216×9联立yx消去y，得x2＝，

25＋＝1，169121212x＝－舍去，故y＝，

故x＝5551212所以点P的坐标为5，5. 1212答案：5，5

x＝2cos φ，7．已知椭圆的参数方程为(φ为参数)，点M在椭圆上，对应的参数φ＝y＝4sin φ

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π，点O为原点，则直线OM的斜率为________．

3π解析：当φ＝时，3πy＝4sin ＝23πx＝2cos ＝1，33，

故点M的坐标为(1,23)．所以直线OM的斜率为23. 答案：23 三、解答题

5x＝4t2，x＝5cos θ，8．已知两曲线的参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它y＝sin θy＝t

们的交点坐标．

x＝5cos θ解：将(0≤θ＜π)化为普通方程得：

y＝sin θx22＋y＝1(0≤y≤1，x≠－5)，

5554将x＝t2，y＝t代入得，t4＋t2－1＝0，解得t2＝，

416525554∴t＝，x＝t2＝×＝1，

5445

25. ∴两曲线的交点坐标为1，5x＝3cos θ，9．已知椭圆的参数方程为y＝2sin θx＝2－3t，(t为参数)的最短距离．

y＝2＋2tx＝2－3t，解：设点P(3cos θ，2sin θ)，直线可化为2x＋3y－10＝0，点P到直线的y＝2＋2t

(θ为参数)，求椭圆上一点P到直线

距离d＝62sin θ＋π－10|6cos θ＋6sin θ－10|4132＝13πθ＋∈[－1,1]，所以d∈.因为sin410－62. 1310－6210＋6，1313，所以点P到直线的最短距离dmin＝x2y210．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与x轴正半轴交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OPab⊥AP(O为原点)，求离心率e的取值范围．

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x＝acos θ，解：设椭圆的参数方程是(θ为参数)(a＞b＞0)，则椭圆上的点P(acos θ，y＝bsin θ

bsin θ)，A(a,0)．

bsin θbsin θ∵OP⊥AP，∴·＝－1，

acos θacos θ－a即(a2－b2)cos2θ－a2cos θ＋b2＝0. b2解得cos θ＝2或cos θ＝1(舍去)．

a－b2b2∵a＞b，－1≤cos θ≤1，∴0＜2≤1. a－b2a2－c2把b＝a－c代入得0＜2≤1. c22212即0＜2－1≤1，解得≤e＜1. e2故椭圆的离心率e的取值范围为

2，1. 2高考资源网版权所有，侵权必究！