二 一般形式的柯西不等式教学设计(教案)

柯西不等式

一、比较法

1．求差比较法

知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b，只要证明a－b＞0即可，这种方法称为求差比较法．

2．求商比较法

aa由a＞b＞0⇔＞1且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞0时要证明a＞b，只要证明1即可，这种方法称为bb求商比较法．

二、分析法

从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．

三、综合法

从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．

四、放缩法

在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．

五、反证法的步骤

1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出

矛盾；3．否定假设，肯定结论．

六、柯西不等式的二维形式

1．柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2).(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中等号当且仅当a1b2＝a2b1时成立．

2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．

22222

3．二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y1＋x2＋y2≥(x1－x2)＋(y1－y2)

七、柯西不等式的一般形式

222

柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…bn为实数，则(a1＋a2(b22＋…＋an)·1＋b2＋…＋2b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn). a1+ a2+…an八、基本不等式的一般形式≥n(a1+ a2+…an)

n例1：设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．

证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a) ＝(a－b)((a)5－(b)5)．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)((a)5－(b)5)≥0；

当a0.

所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．

b2c2a2bca例2：已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥c＋a＋b. abcabcb2c2b2c2bc2a2ca2b2a证明：∵a，b，c∈R＋，∴＋≥2·＝2c，同理，＋≥2a，＋≥2b，

abababcbcacb2c2a2bca三式相加可得＋＋≥c＋a＋b. abcabc1111例3：设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1. 2n＋1n＋22n111111111证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得≤＜.当k＝1时，≤＜；当k＝2时，≤＜；

2nn＋kn2nn＋1n2nn＋2n1111n111n…当k＝n时，≤＜，

∴＝≤＋＋…＋＜＝1. 2nn＋nn22nn＋1n＋22nn例4：设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M; (2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．

解：(1)由|2x－1|＜1，得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．

(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0, 故ab＋1＞a＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab＋1)与logm(a＋b)(m＞0且m≠1)的大小．

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解：∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.当m＞1时，y＝logmX在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab＋1)＞logm(a＋b)当0＜m＜1时logmX在(0，＋∞)上单调递减，

∴logm(ab＋1)＜logm(a＋b)．

例5：设n∈N，n＞1，试比较logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小．

logn1n22nlogn1n12logn1n2logn1nlogn＋1(n＋2)＜解：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n≤＝logn(n＋1)222＝1.因此，logn(n＋1)>logn＋1(n＋2) a2－b2a－b例6：设a＞b＞0，求证：2＞. a＋b2a＋b(a－b)[(a＋b)2－(a2＋b2)]2ab(a－b)证明：法一：∵a＞b＞0，∴左边－右边＝＝22＞0，故原不等式成立．

22(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)a2－b2a2＋b2a2－b2a＋b(a＋b)2a－ba2－b2a－b2ab法二：＝×＝＝1＋22＞1，且由a＞b＞0，知＞0，∴2＞. a－ba2＋b2a－ba2＋b2a＋ba＋ba＋b2a＋ba＋b例7：(1)设x≥1，y≥1，证明[y＋x＋(xy)2]>[xy(x＋y)＋1]；

(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 111解：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. xyxy将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]=[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝

(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．

既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．

111(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. xyxy111于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝loga

b≥1，y＝logb

c≥1.故由(1)可知所要证明的不xyxy等式成立．

222amba＋mb例8：已知m＞0，a，b∈R，求证：≤1＋m. 1m22222amba＋mb证明：因为m＞0，所以1＋m＞0，所以要证即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2≤1＋m，1m222amb2222a＋mb－2ab＋b)≥0，即证(a－b)≥0.而(a－b)≥0显然成立，故≤1＋m. 1m例9：设x，y，z为正数，求证：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．

证明：因为x2＋y2≥2xy≥0，所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)，三式相加即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)，又因为xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．

1．利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a2≥0；(2)|a|≥0；(3)a2＋b2≥2ab；2a2＋b2aba＋b12它的变形形式又有(a＋b)≥4ab，≥等；(4)≥ab(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a＋≥2

22a2baba(a＞0)，＋≥2(ab＞0)，＋≤－2(ab＜0)等.

abab2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.

ab例10：设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：x＋x2＜2. 2第

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abab|a||b||x||x|[证明]由已知m≥|a|，m≥|b|，m≥1.又|x|＞m，∴|x|＞|a|，|x|＞|b|，|x|＞1.∴x＋x2≤x＋x2＝|x|＋|x|2＜|x|＋|x|2

1|x|ab＝1＋＜1＋＝2.∴|＋2|＜2成立．

|x||x|xxabc例11：已知a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＞c.求证：＋＞. 1＋a1＋b1＋ca＋baabbab证明：∵a＞0，b＞0，∴＞，＞.∴＋＞. 1＋a1＋a＋b1＋b1＋a＋b1＋a1＋b1＋a＋ba＋bx1c而函数f(x)＝＝1－在(0，＋∞)上递增，且a＋b＞c，∴f(a＋b)＞f(c)，则>，

1＋x1＋x1＋a＋b1＋cabc所以＋>，则原不等式成立．

1＋a1＋b1＋c311111例12：求证：－＜1＋2＋2＋…＋2＜2－(n≥2，n∈N＋)．

2n＋123nn11111111证明：∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，k≥2，∴＜2＜，即－＜2＜－，分别令k＝2,3，…，kk＋1kk－1kk(k＋1)kk(k－1)11111111111111n得－＜2＜1－；－＜2＜－；…－＜2＜－；

232234323nn＋1nn－1n11111111111111将上述不等式相加得：－＋－＋…＋－＜2＋2＋…＋2＜1－＋－＋…＋－，

2334nn＋123n223n－1n111111311111即－＜2＋2＋…＋2＜1－，∴－＜1＋2＋2＋…＋2＜2－. 2n＋123nn2n＋123nn(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目1111121分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如2＜，2＞，＜，kk(k－1)kk(k＋1)kkk＋k－12aa＋m＞.上面不等式中k∈N＋，k＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则＜”，bb＋mk＋k＋1添加或减少项，利用有界性等．

(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．

1例13：已知x，y均为正数，且x＞y,2x＋2≥2y＋3. x－2xy＋y211解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，2x＋2＝(x－y)＋(x－y)＋2－2y＝2(x－y)＋x－2xy＋yx－y21≥2y＋3. x－2xy＋y2111例14：设a，b，c为正实数，求证：3＋3＋3＋abc≥23. abc≥3x－y22＝3，所以1x－y231x－y2x＋211131111113证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得3＋3＋3≥3. 3·3·3，即3＋3＋3≥abcabcabcabc111333111所以3＋3＋3＋abc≥＋abc.而＋abc≥2 ·abc＝23.所以3＋3＋3＋abc≥23. abcabcabcabcabcn111例15：若n为大于1的自然数，求证：nn＋1＜n＋1＋＋＋…＋. 23nnn＋1n＋111134534证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋＋1＋＋…＋1＋＝2＋＋＋＋…＋≥n·2···…·

23n234n23nnn34111＝n·n＋1＝左边．∵2≠≠，故不取等号．∴不等式nn＋1＜n＋1＋＋＋…＋成立．

2323n1例16：已知f(x)＝x2＋px＋q，求证|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 21证明：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)|＝|(12第

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＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)|＝2，与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2矛盾，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个1不小于. 2111111例17：设a、b、c均为正数，求证：＋＋≥＋＋. 2a2b2cb＋cc＋aa＋b1111111111≥证明：∵a、b、c均为正数，∴≥，当a＝b时等号成立；(＋)≥≥，当22a2b2aba＋b22b2c2bcb＋c1111111111b＝c时等号成立；(＋)≥≥，当a＝c时等号成立．三个不等式相加即得＋＋≥＋22c2a2cac＋a2a2b2cb＋cc＋a1＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立．

a＋bnn＋nn＋例18：已知：an＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋nn＋(n∈N＋)，求证：＜an＜. 22证明：∵nn＋＝n2＋n，∴nn＋＞n，∴an＝1×2＋2×3＋…＋nn＋＞1＋2＋3＋…nn＋n＋n＋1＋22＋33＋4n＋n＋＋n＝.∵nn＋＜，∴an＜＋＋＋…＋

222222n＋1nn＋nn＋nn＋1＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝.综上得：＜an＜. 22222111100例19：设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：a+b+c≥. 3abc1111111证明：a+b+c＝(12＋12＋12)[a+b+c] abc3abc1111111111111≥1a1b1c＝1＝1abc≥(1＋9)233abcabc3abc3100＝. 3－x2a2b2x2例20：已知a，b为正实数．(1)求证：＋≥a＋b；(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0＜x＜1)bax1－x的最小值．

a2b2a3b32222解：(1)证明：法一：∵a＞0，b＞0，∴(a＋b)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2. baaba2b2∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立。

baa3＋b3－a2b－ab2a3－a2b－ab2－b3a2a－b－b2a－ba2b2法二：∵＋－(a＋b)＝＝＝＝baabababa－b2a＋ba－b2a＋ba2b2.又∵a＞0，b＞0，∴≥0，当且仅当a＝b时等号成立∴＋≥a＋b. ababba－x2x2(2)：∵0＜x＜1，∴1－x＞0，由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1. x1－x1－x21x2当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．∴函数y＝＋(0＜x＜1)的最小值为1. 2x1－x222222222222第

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