2.基本不等式精品学案

编制：杨宗平 审核： 班级高2019级3班 小组 姓名

§3.4基本不等式abab2（第1课时）

学习目标 知识与技能:初步理解基本不等式，并能准确表达，知道算术平均数、几何平均数的概念。

过程与方法：经历基本不等式的证明过程，探索基本不等式的几何证法及其它证法。

情感、态度与价值观：感受数学的严谨与直观，增强学习数学的兴趣。

教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式abab2的证明过程。

教学难点：用基本不等式求最值。

学习过程

一、自学质疑，交流展示 组长签字： 【探究】：高中数学必修5教材封面是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。请同学们利用自备的4个全等的直角三角形摆一摆该图案，并小组讨论回答下列问题：

设小直角三角形的两条直角边为a、b，则正方形的边长为

，正方形的面为

。四个直角三角形的面积和为

。

4S三角形S正方形

<

。

思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是

概念: 一般的,对于任意的实数a,b,我们有

，当且仅当

时,等号成立. 太阳每天都是新的，你是否每天都在努力？

特别的,如果a0,b0

,我们用a、b分别代替a,b,可得

。我们通常把上式写成abab2(a0,b0) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能也利用几何图形来解释呢? 二、深化认识，加强理解

D

1、几何解释：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，

ACa，BCb．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．

A B ①如何用a, b表示OD?

OC

E ②如何用a, b表示CD?

③由图形可知OD与CD的存在怎样的不等关系？

所以基本不等式的几何意义是：

。

2、均值解释：ab叫做正数a,b的 ；ab2叫做正数a,b的 .所以基本不等式abab2也叫均值不等式，其代数意义是：

。三、互动探究，精讲点拨

合作探究一：小试牛刀

(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

今天多一份拼搏、明天多几份欢笑。

编制：杨宗平 审核： 班级高2019级3班 小组 姓名

小结：（最值定理）已知x、y都是正数，(1)若积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值__

; (2)若和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值________

_即用均值不等式求函数的最值时要注意成立条件：①____________②_________③_______

合作探究二：渐露锋芒 判断下列推理是否正确：

（1）、若aR，则a1a2a1a2 （ ）

（2）、若0x1，则x(1x)x(1x)212

（

）

*（3）、若0x，则由ysinx4sinx2sinx4sinx4得ymin4

（

）

*（4）、若a,b0且ab18，则ab(ab2)2(182)281 （

）

小结：通过练习，同学们知道上述公式主要用于解决最值问题，你能观察出它可以解决哪些式子的最值问题？在求最值的过程中需要满足什么条件？

自主考查：智慧闪光

1.若x0,求函数y3x12x的最小值；

2.已知x54，求函数y4x14x-5的最小值；

3. 已知0x1，求函数yx(1x)的最大值；

4.已知0x12，求函数y（x1-2x)的最大值.

太阳每天都是新的，你是否每天都在努力？ 四、回顾反思

拓展延伸

1.本节课推导并证明均值不等式的方法是什么？

2.运用均值不等式的条件有哪些？均值不等式有哪些变形？

3.本节均值不等式解决了哪些问题？需要注意什么？

※

自我评价

自评

A（优秀）

B（良好）

C（一般）

本节课的整体效果

个人预习效果

个人听课效果

个人踊跃发言

个人总体评价

个人存在问题

以后努力方向

五、作业布置，课后延拓

基础作业：教材100页练习题1，2，3. 研究性作业：（1）设a＞0，b＞0，称2abab为a,b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且ACa,CBb，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E，连结AD,BD,则图中线段 的长度是a,b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数．

（2）已知a,b都是正数，证明：2aba2b21ab．a122

b今天多一份拼搏、明天多几份欢笑。