1.不等式的基本性质教案教学设计导入整理

不等关系与不等式

1.两个实数大小的比较原理

差值比较原理

设a,b∈R,则a>b⇔a-b>0,a=b⇔a-b=0,a

.

商值比较原理

设a,b∈R+,则

>1⇔a>b,

=1⇔a=b,

<1⇔

.

2.不等式的性质

基

本

性

质

运

算

性

质

题组一

常识题

1.[教材改编]

一个两位数的个位数字y比十位数字x大,且这个两位数小于30,用不等式表示为

.

2.[教材改编]

设A=(x-3)2,B=(x-2)(x-4),则A

B.(填“>”“<”“≥”“≤”或“=”) 3.[教材改编]

已知a+b>0,b<0,那么将a,b,-a,-b按从大到小的顺序排列为

.

4.[教材改编]

若a>b,给出下列四个不等式: 性质

性质1(对称性) 性质2(传递性) 性质3(可加性) 性质4(可乘性) 性质5(加法法则) 性质6(乘法法则) 性质7(乘方法则) 性质8(开方法则) 性质9(倒数法则) 不等式表示

a>b⇔

a>b,b>c⇒

a>b⇔

a>b,c>0⇒

; a>b,c<0⇒

a>b,c>d⇒

a>b>0,c>d>0⇒

a>b>0,n∈N*⇒

a>b>0,n∈N*,n≥2⇒

ab>0,a>b⇒

备注

⇔

⇒

⇔

c<0时不等

号方向改变

同向

同正同向

同正

同正

同号

①ac2>bc2;

②

<

;

③ac2≥bc2;

④

≤

.

其中一定成立的是

.(填序号) 题组二

常错题

◆索引:不等式基本性质的两个易错点:(1)不等号的传递性;(2)可乘性.

5.有以下四种说法:

①若a>b,cb-d;

②若a>b>0,则

>

; ③若a>b>0,c>d>0,则

>

;

④若

>1,则a>b.

其中正确说法的序号是

.

6.若a≤b,b

.

7.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是

.

8.已知a∈(-1,1),则 ∈

.

探究点一

比较两个数(式)的大小

1 (1)已知logab=-1,2a>3,c>1,设x=-logb

,y=logbc,z=

a,则x,y,z的大小关系是

A. z>x>y

B. z>y>x

C. x>y>z

D. x>z>y

(2)已知a≠2,b≠-1,M=a2+b2,N=4a-2b-5,则M与N的大小关系为

.

(3)已知a>0,b>0,a≠b,则aabb与(ab)

(

) 的大小关系为

.

[总结反思] 比较大小的常用方法: (1)作差法.一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④得出结论.其关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式,当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.

(2)作商法.一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④得出结论.

(3)单调性法.利用有关函数的单调性比较大小.

(4)特值验证法.对于一些题目,有的给出取值范围,此时可采用取特殊值比较大小.

探究点二

不等式的性质

2 (1)若a,b,c均为实数,且a

(

) 22A. a+c

B. ac

C. a

D.

-

<

-

(2)[2017·北京朝阳区期末]

已知非零实数a,b满足a

A. a+b>0

B.

>

C. ab

探究点三

不等式性质的应用

3 (1)已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是

(

) A. 2枝玫瑰的价格高

B. 3枝康乃馨的价格高

C. 价格相同

D. 不确定

(2)若角α,β满足-≤α≤β<π,则α-β的取值范围是

.

(

)

D. a3-b3<0 [总结反思] (1)由a

(2)运用不等式性质解决问题时,必须注意性质成立的条件,如性质6必须是同向同正,性质4要注意不等式两边乘负数不等号方向必须改变.

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解集

判别式

Δ=b2-4ac

二次函数

y=ax2+bx+c

(a>0)的图像

一元二次方程

ax2+bx+c=0 (a>0)的根

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集

ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

常用结论

1.一元二次不等式恒成立问题

(1)不等式ax2+bx+c>0(a≠0),x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0; (2)不等式ax2+bx+c<0(a≠0),x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0; (3)若a可以为0,需要分类讨论,一般优先考虑a=0的情形.

2.简单分式不等式

)

)

,

)

)(1)

)≥0⇔

(2)

)>0⇔f(x)g(x)>0.

)

3.简单指数不等式

(1)当a>1时,不等式af(x)>ag(x)等价于f(x)>g(x); (2)当0ag(x)等价于f(x)

4.简单对数不等式

(1)当a>1时,不等式logaf(x)>logag(x)等价于f(x)>g(x)>0; (2)当0logag(x)等价于g(x)>f(x)>0.

题组一

常识题

有两个相异实根

x1,x2(x10 Δ=0 Δ<0

有两个相等实根

x1=x2=-

没有实数根

1.[教材改编]

不等式(x-2)(2x-3)<0的解集是

.

2.[教材改编]

若不等式-x2+2x+m>0的解集是⌀,则实数m的取值范围为

.

3.[教材改编]

不等式

-

>1的解集是

.

4.[教材改编]

某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2,x∈(0,240)且x∈N*.若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是

台.

题组二

常错题

◆索引:解一元二次不等式的两个易错点:(1)二次项系数为负;(2)二次项系数为0.解简单分式不等式的易错点:忽视分母等于0.

5.不等式(x+3)(2-x)>0的解集为

.

6.不等式(ax-1)(x-2)<0(a<0)的解集是

.

7.不等式

-

-

≤0的解集是

.

8.若不等式mx2+2mx+1>0的解集为R,则m的取值范围是

.

基本不等式

1.基本不等式与常用重要不等式

基本不等式

(1)基本不等式成立的条件:

;

≤

(2)等号成立的条件:当且仅当

时取等号 重要不

等式链

若a≥b>0,则a≥

≥

≥

≥ ≥b>0

a2+b2≥

(a,b∈R).

几个重要

的不等式

+

≥

(a,b同号).

ab≤

(a,b∈R) 2.利用基本不等式求最值问题

已知x,y∈R+,x+y=P,xy=S.有下列命题: 如果S是定值,那么当且仅当

时,x+y有最小值

; 如果P是定值,那么当且仅当

时,xy有最大值

.

题组一

常识题

1.[教材改编]

函数y=x+

(x>0)的最小值为

.

2.[教材改编]

若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是

m2.

3.[教材改编]

设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为

.

4.[教材改编]

若正数m等于两个正数a与b之和,则当a=

,b=

时,ab有最大值

.

题组二

常错题

◆索引:基本不等式的两个易错点:(1)忽视不等式成立的条件;(2)忽视等号成立的条件.

5.若x>1,则x+

-

的最小值为

.

6.若实数x,y满足x2+2y2=4,则|xy|的最大值为

.

7.函数y=sin x+ ,x∈ ,

的最小值为

.

8.函数f(x)=x+

的值域为

.

探究点一

利用基本不等式求最值考向1

利用配凑法求最值

1 (1)[2018·开滦一中月考]

若函数f(x)=x+

-

(x>2)在x=a处取最小值,则a等于

A. 1+

B. 1+

(2)函数y=

-

(

)

C. 3

D. 4 (x>1)的最小值为

.

考向2

常数代换法求最值

2 (1)[2017·锦州一模]

设a>0,b>2,且a+b=3,则

+

-

的最小值是

A. 6

B. 2

C. 4

D. 3+2

(

) (2)[2017·山东卷]

若直线

+

=1(a>0,b>0) 过点(1,2),则2a+b的最小值为

.

考向3

消元法求最值

3 (1)[2017·邯郸模拟]

若正数a,b满足+=1,则

-

-

+的最小值为

(

) A. 1

B. 6

C. 9

D. 16

(2)已知正数a,b的等比中项是2,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是

.

探究点二

基本不等式与函数的综合问题

4 (1) 已知函数f(x)=x2-ax-a,若对任意x≥0,f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是

.

(2)已知0

.

探究点三

基本不等式的实际应用

5 某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0) 单位:万元)满足x=3-

(k为常数),如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将2017年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数.

(2)该厂家2017年的促销费用为多少万元时,厂家获得的利润最大?