2.2.1 综合法和分析法教案设计（一等奖）

课题：综合法和分析法（一）

授课人：范晓绚

教材分析：

《综合法和分析法》是选修1—2中2.2.1的内容，本内容需要2个课时才能完成，本节课是第一课时，主要介绍直接证明中两种方法——综合法和分析法，初步体会这两种方法在证明中的相同点和不同点。下一节课将通过各种不同的例题进一步加深对综合法和分析法的运用。本内容研究的是证明方法的运用，涉及以前学过的各种知识，与其他知识联系紧密。

学情分析：

本次授课班级是政治班，授课对象是普通文科班的学生，基础较差且不太扎实，反应较慢，在联系到以前学过的知识时，老师要对该部分知识进行适当地回顾，应以讲练结合的方法为主。

一、三维学习目标

（一）

知识与技能

结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法综合法和分析法，了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题，并通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性。

（二）

过程与方法

从实际问题认识命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推论结果的真实性，从证明过程上认识分析法和综合法的推理过程。学会用分析法和综合法证明实际问题，并且理解分析法和综合法之间的内在联系。

（三）

情感、态度与价值观

通过本节内容的学习，正确认识综合法和分析法在证明过程中的重要作用，养成勤于观察、认真思考的数学品质，正确认识和理解综合法和分析法的相似之处和内在联系及辩证地分析问题的观点。

二、教学重点

综合法和分析法的推理过程和它们之间的内在联系

三、教学难点

如何运用综合法和分析法证明数学问题

四、教学手段

多媒体电脑与投影仪

五、教学过程

（一）创设问题情景，引入新课

某投资公司从本月1日开始关注一只名为亿方电子的新上市股票，观察了3天后，技术部有人提出可以马上入市的建议，技术员小新分析了这只股票的有关资料后，认为本月10日之前不能入市，为公司避免了大量的损失。

公司老总非常高兴，在月度表彰会问及小新原因时，小新说：“根据该股票的各种资料分析，该股票在本月1日至15日的走势函数为f(x)13132xx30x10（x为日期，32f（x）为股价），于是在3日至10日之间买入必亏。”

为什么呢？同学们能用学过的数学知识解释这个问题吗？

思考1：在3日至10日买入必亏说明什么？

1

答：说明该股票在3日至10日之间股价下跌。

思考2：股价下跌与函数f(x)有什么关系？

答：3日至10日之间股价下跌说明函数f(x)思考3：如何证明函数f(x)（二）讲授新课

填空：

要证函数f(x)13132xx30x10（x为日期，f（x）为股价）3213132xx30x10为减函数。

3213132xx30x10（3

3213132xx30x10（3

…………Q 32只需证f'(x)x213x300(3x10)

，

…………P1

只需证x213x30(x3)(x10)0(3x10)

，

…………P2

由于当3x10时，x30,x100,(x3)(x10)0成立，

于是命题得证。

…………明显成立的条件

QP1P2明显成立的条件

证明函数f（x）的单调性，往往对函数求导数，若f‘（x）>0，则函数f（x）是增函数，若f’（x）<0，则函数f（x）是减函数；

（2）

启发：我们在探求解体思路时,可观察要使题目结论成立还缺什么条件,我们就去寻找或推证出这些条件。

分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）。这种证明的方法叫做分析法。分析法，又叫逆推证法或执果索因法。

用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

小结：

（1）

(QP1)(P1P2)(P2P3)...得到一个明显成立的条件

思考4：能不能把证明过程按照“从因到果”重新表达一下呢？

113证明：f(x)x3x230x10，…………P 32

2f'(x)xx

10



13

x



30



(

x



3

)(

)；

100

,

x

10

当

3



x



时

,

x



3





0

,

…………Q1

f'(x)(x3)(x10)0…………Q2

3



x



10

,

f

(

x

)

为减函数。

…………Q 当时PQ1Q2Q

综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法，又叫顺推证法或由因导果法。

2

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

(PQ1)(Q1Q2)(Q2Q3)...(QnQ)

综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式。

（三）例题讲解

例1：若a,b,c成等比数列，求证：2111,,也成等比数列。

abc分析：a,b,c成等比数列bac；

①

111111

,,也成等比数列；②

abcacb只要找到①②的联系问题就得证。

②211b2ac。

2acb证明：要证111,,也成等比数列，

abc2111只需证，

acb只需证11，

b2ac2只需证bac，

由a,b,c成等比数列可知，上式成立。

所以111,,也成等比数列。

abccosx1sinx例2：求证。

1sinxcosxcosx1sinx证明：要证，

1sinxcosx2只需证cosx(1sinx)(1sinx)，

即证cosx1sinx，

由同角三角函数基本关系可知，上式成立，于是原等式成立。

例3：求证3725。

证明：因为37和25都是正数，所以要证3725，

22

3

只需证(37)2(25)2，

只需证1022120，

即证22110，

即证215，

即证21<25。

因为21<25显然成立，所以原不等式成立。

小结：从以上3个例题中，我们发现都较难通过已知条件直接找到证明的出发点，特别是例3，我们很难想到从“21<25”入手，这时分析法就显示出绝对的优势。那么，综合法是不是就完全没有价值呢？下面请看例4：

例4：如图，AB是圆O的直径，C为圆O上一点，PA面ABC，求证：BC面PAC。

分析：

BC面PAC



P

BCAC

BCPA

PAACA（已知）

ACB





AB为圆的直径

PA面ABC

BC面ABC

（已知）

（已知）

（已知）

证明：AB为圆O的直径，

BCAC，

PA面ABC，BC面ABC，

BCPA，

又PAACA，

BC面PAC。

小结：分析法便于寻找思路，但遇到“多支”推导时就较难表述了，综合法便于过程的叙述，所以遇到较复杂的问题先用分析法思考，再用综合法表述，两者综合运用，就能较好地解决问题。

（四）课堂小结

1、什么是综合法和分析法？

综合法：(PQ1)(Q1Q2)(Q2Q3)...(QnQ)

分析法：(QP1)(P1P2)(P2P3)...得到一个明显成立的条件

4

2、综合法和分析法各有什么异同点？哪种方法较好？

综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法。

综合法又叫顺推证法，是“由因导果”，而分析法又叫逆推证法，则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法。

分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题中，综合运用，效果会更好。

（五）布置作业

1、求证：对于任意角，cossincos2。

2、求证：67225。

3、综合提高（选做题）：已知,k442(kZ),且

sincos2sin,……①

sincossin2,……②

1tan21tan2求证：。

221tan2(1tan)

5

例1：在ABC中，设CBa，CAb，求证SABC1222|a||b|(ab)。

2分析：CBa，CAbABC中CB=|a|，CA=|b|，C为向量a与b的夹角

ab|a||b|cosC；①

与三角形边角有关的面积公式：SABC221|a||b|sinC；②

2sinC与cosC的关系：sinCcosC1；③

将①②③适当变形转化就可获得结论。

例2：在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证ABC为等边三角形。

分析：A、B、C成等差数列2B=A+C；

①

a、b、c成等比数列bac；

②

A、B、C是ABC的三个内角ABC；

③

将边角的关系联系起来，利用余弦定理进行证明。

小结：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来。

例3：求证2abab(a0,b0)。

2分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。

小结：在本例中，由于我们很难想到从“(ab)20”入手，所以用综合法证明比较困难。

（四）自主练习：求证3725。（填空）

证明：因为37和25都是正数，所以要证3725，

只需证(37)2(25)2，

只需证1022120，

即证22110，

即证215，

即证21<25。

因为21<25显然成立，所以原不等式成立。

6

小结：在本题中，我们同样很难想到从“21<25”入手，于是分析法对于那些较难发现证明的出发点的题目显示出绝对的优势。

7