信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学内容概述

正态分布教学设计

1、教学内容解析

实际生产、生活中，许多随机现象都服从或近似服从正态分布，所以正态分布的应用非常广泛。正态分布前学生学的是离散性随机变量的分布，而正态分布是连续型随机变量，同学们需要了解总体密度曲线是怎么来的，进而认识正态曲线，重点是了解正态曲线的图像特点；对正态分布的几个具体概率数据得有所了解，虽然不需要证明，但要明白它们的意义，也就是知道3原则。我认为较离散性随机变量的分布而言，正态分布广泛存在与现实生活中，学生更能切身体会，考题也无需刻意编造，如果能真正理解它，那么对生产生活很有指导意义，这也是我们新课程理念的“用数学”的体现。

2、教学目标设置

教学重点是了解正态分布曲线的特点，了解正态分布曲线所表示的意义。让学生直观感受正态分布的概率规律，了解正态曲线，认识数据0.3413，0.4772，0.4987让学生知道P(X)0.，P(XX2)0.477

，

P(X3)0.49，9

会把正态曲线的特点以及正态分布的概率数据应用于简单的实际问题。教学结果希望学生能达到在实际问题中能辨识某种现象是否符合正态分布，还能知道正态曲线有什么特点，以及它符合的3原则，进而能应用特点和原则解决简单的实际问题。

3、学生学情分析

同学们前面学习了两点分布，超几何分布，及二项分布，对离散型随机变量的概率分布有了一定的认识，但它却不能成为学习正态分布的知识基础，因为区别很大，所以我觉得学生对正态分布的认识并不是在离散型随机变量的基础上认识它，而是在直方图基础上的提炼与升华。所以这节课的难点是：正态曲线到底是怎么来的？而那些数据又是怎么来的？我认为弄懂这些需要大量的用统计知识来处理实际问题的经验，而学生缺失的正是这点。基于时间关系，不可能让学生去做大量的社会实践并进行统计处理，所以只好借助图形计算器。

4、教学策略分析

为了弥补学生没有大量处理数据的经验这个不足，我将借助图形计算器让学

1

生直观感受变化中隐藏的规律。这节的教学难点是在实际中什么样的随机变量服

从正态分布，正态分布曲线所表示的意义，以及正态分布的数据怎么来的问题。而课本对数据怎么来的只有这样三个字“特别有”。所以我这节课在TI实验室上也是为了让学生用手持计算器，充分体会一下正态曲线是怎么来的，特点是什么，正态分布的数据又是怎么来的。学生可以通过改变样本容量和组数感觉正态曲线怎么来的，进而在正态曲线下通过不断的更改µ与来直观感受这两个参数对曲线的影响，以及了解正态曲线的三个数据是怎么来的。

5、教学媒体支持

TI数学实验教室，手持图形计算器

6、教学过程分析

我们在必修三中就做过样本的频率分布直方图，而同学们也知道样本容量越大，所分组数越多各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率。以下我们对居民用水量的统计问题的研究来一起感受一下变化。

样本容量是50时的研究：以下三图是组距不断变小的过程：

下面是样本容量是100时的研究：以下三图是组距不断变小的过程，

2

以上是样本容量50与100的比较，请设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，频率分布直方图会发生什么变化呢？

图一

图二

同学们感觉数据越来越细化，设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，频率分布直方图就会越来越像一条钟形曲线，但以上两图的曲线感觉二图要比一图拟合得好一些。（想想为什么?如果样本容量变为1000图像又会怎么变化呢？学生回答) 样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，频率分布直方图频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线就叫做总体密度曲线。

3

1e一、曲线就是（或近似地是）下面函数的图像：,（x)2(x)222：1ex)我们称：,（2(x)222，x(,)；的图象为正态分布x221e,1x)密度曲线，简称正态曲线。而：0（2，x(,)称为标准正态曲线。

二、一般地，如果对于任何实数a,b(a

同学们想想，居民用水，各家之间有联系吗？没有。经验表明，一个随机变量如果是众多的，互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。例如：高尔顿板实验中小球下落的位置，长度测量的误差，某一地区同龄人的身高、体重、肺活量，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，正常生产条件下各种产品的质量指标，某地每年7月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布。正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中，正态分布在概率和统计中占有重要的地位。

三、正态曲线的特点：（学生总结）

1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交。

2）曲线是单峰的，它关于直线x对称。

4

3）曲线在x处达到峰值12

4）曲线与x轴之间的面积是1. 四、下面我们来看与对正态曲线的图像的影响：（学生用图形计算器自己演示，然后观察得到结论）

（作图时为了方便表示，用a表示，用b表示1）、我们先让固定为0，看）

的变化对图像的影响

=0，=2

=0，=1 =0，=0.5

结论（学生答）：当一定时，曲线的形状由高“，表示总体的分布于集中; 散。

确定，越小，曲线越”瘦越大，曲线越”矮胖“，表示总体分布越分5

2）、接下来我们让固定为1，看的变化对图像的影响: 为对称轴，我们可以做函

为了让同学们看清图像平移后确实还是以x数图象分析中的求最大值，大家可以清晰看到哪里是对称轴。

=3，=1 (对称轴x=3)

=1，=1 (对称轴x=1)

=0，=1

(对称轴x=0)

=-1，=1(对称轴x=-1)

6

结论（学生答）：当

一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而延x轴平移。

五、探究正态分布的概率数据（学生操作，学生总结）

现实生活中，很多随机变量服从或近似服从正态分布，在应用正态分布时不但要了解正态曲线的特点，更有必要探究一下正态分布的概率数据，以便更好地指导我们的生产生活。我们用积分来求概率。



=0，=1时，

P(X)即P(0X1)0.341

7

=0，=2时，

P(X)P(0X2)0.341

=-1，=0.5时，

P(X)P(1X10.5)0.341

8

=2，=0.5时，

P(X)即P(2X2.5)0.341

下面是P(XX2)0.477的数据探

9 : 究

d

结论（学生答）：不一样的正态分布虽然

与不相等，但0.3413，P(X)0.341始终成立，书上更精确为P(X2)0.477；P(X3)0.499始终成立。

六、例题：今天是6月20日，6月24日高考成绩将公布，现在大家纷纷猜测今年的二本，一本分数线。如果我给大家以下数据看看你是否能够猜出今年的一本分数线。

2015年，山西理科高考分数X～N(418，97)，一本分数线515分(二本分数线442分)；如果2016年山西理科高考分数Y～N(411，108)，假设2016年与2015年的一本（二本）录取率保持不变，试计算2016年的一本（二本）分数线的近似值。

22

10

解：2015年设：1

418，197

一本线515=418+97，即X=11

P(X11)即P(X515)0.50.3410.159;

故2015年的理科一本录取率是15.9﹪

，若2016年(设：2411，2108)与2015的一本录取率相等则

P(X515)P(X11)P(Y22)P(Y411108)P(Y519)故2016年的高考理科一本线估计为519分。

2015年：二本线442=418+24.即X≈

114

P(X442)P(X1

14)P(Y224)

108P(Y411)P(Y438)4

故2016年的高考理科二本线估计为438分。

答，预计2016年的高考理科一本线519分，二本线438分。

（录取率40﹪左右，下面为参考数据）

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课堂小结;（学生总结）

1)

正态曲线的定义。

2)

正态曲线的特点。

3)

正态曲线的概率数据。

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