探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大教学设计一等奖

基于数学核心素养的高中数学教学设计与反思

课题名称：2.2.3探究与发现

服从二项分布的随机变量取何值时概率最大

姓名

学科年级

林

嵘

军

数学 高二

工作单位

教材版本

郴州市第二中学

人教A选修2-3 一、教学内容分析

二项分布是应用最广泛的离散型随机变量概率模型。能深化学生对二项分布概率公式的理解与应用，有益于培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养。

二、教学目标

知识与技能：促进n次独立重复试验及二项分布模型的理解与深化，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的探究发现能力、自主学习建模能力，逻辑推理与数学运算等综合能力

过程与方法：通过主动探究、自主合作、相互交流，让学生充分体会问题的提出到解决的过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法. 情感态度与价值观：通过实际问题提出、解决、一般化等推演过程，使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神.

三、学习者特征分析

知识方面：学生学习完了二项分布的概念，对概率公式有了基本掌握；

方法方面：在学习数列时，学生经历过“相邻项法”求数列最大项，本课需要学生通过类比转化完成方法的迁移。

思维方面：由特殊到一般，由具体到抽象。

四、教学策略选择与设计

通过回顾知识，提出问题，解决问题，问题一般化等方式展开教学。

五、教学重点及难点

重点：探究服从二项分布的随机变量取何值时概率最大。

难点：对二项分布模型的识别与应用、数学运算。

六、教学过程

设计

设计

教学设计主体

环节

意图

二项分布定义：在n次独立重复试验中，事件A发生定义理解：

的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在1.事件A只有n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是发生（概率p)和不发生（概kkP(X=k)=Cnp(1-p)1-k，k=0,1,2,3,…,n，此时称随机变量X率1-p) 知识回顾

服从二项分布，记作XB(n,p).并称p为成功概率.

2.辨析与对比随机变量X服注意：（1）n,p,k分别表示什么意义？

从二项分布的（2）公式形式特点。

概率公式特点

第1页

例：某射手每次射击击中目标的概率是0.8 ，每次射教师引导：（1）击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次？

解

设他在10次射击中，击中目标的次数为X，由于是怎样变化射击中每次射击的结果是相互独立的，因此，由题意可知：的？

（2）式子分离X～B(10，0.8)，于是恰好k

次击中目标的概率为

出1后得到的P(X＝k)＝×0.8k×0.210-k，(k＝0,1,2,3，…，10)，

式子又是如何变化的？

从而，

=1+

随着k的变大，分子减少，分母增大，分析可得结论。

于是，当k<8.8，P(X＝k-1) < P(X＝k)，

当k>8.8，P(X＝k-1) >P(X＝k)，

所以，他在10次射击中，最有可能8次击中目标。

思考：

如果X～B(n，p)，其中0

解

P(X＝k)＝×pk×(1-p)n-k，(k＝0,1,2,3，…，n)，设P(X＝k)最大，则

问题探究

教师提出ìïP(X=k)?P(XíïîP(X=k)?P(Xìk-1)ïk?(n1)p，代公式得í

k+1)k?(n1)p-1ïî当(n+1)p是正整数时，则(n+1)p-1也是自然数，所以k=(n+1)p-1或(n+1)p时，P(X＝k)取得最大值；

当(n+1)p不是正整数时，则(n+1)p-1也不是自然数，不妨记“不超过(n+1)p的最大整数是[(n+1)p

]”,则当k=[(n+1)p ]时，P(X＝k)最大。

请同学们再验证：对于前例，(n+1)p=11×0.8=8.8，不超过8.8的最大整数为8. 变式1：在前例中，若改为9次射击，结论是什么呢？

答：(n+1)p=10×0.8=8，则9次射击中最有可能7次或8次击中目标。

思考：对一般的二项分布，有什么结论？在数列章节，我们是怎么数列中最大项的？——相邻项法

（方法的比较在于加强方法的联系）

第2页

例2 为了解2019届高三毕业学生的复习备考情况，某市组织了一次全市联考。该市教研结构从该市参加联考的数学高分段（数学成绩不低于100分）的学生中随机抽取了100名学生统计其数学成绩，得到该市数学高分段学生成绩的频率分布直方图如图所示。由频率分布直方图可以认为，该市这次联考的数学高分段学生成绩Z（单位：分）近似地服从正态分布N（，9.82）,其中近似为样本平均数，试利用该正态分布模型解决下列问题：

（1）

若该市恰有2万名学生这次联考的数学成绩不低于100分，试估计该市这次联考的数学成绩Z高于142.6分的学生人数；

（2）

现从该市这次联考的数学成绩不低于100分的学生中随机抽取1000人，若抽到k人的数学成绩在区间（123，142.6]内的可能性最大，试求整数k的值. 选题理由：附：

若X～N（，9.82），则P(-

解：由频率分布直方图可以求得=123，则项分布等知识1方法的应用。

P(Z>142.6)= P(Z-123>19.6=2×9.8)=×（1- P 2本题有一1(123-2×9.8

生人数为20000×0.02275=455；

1（2）

P (123

×0.9545 =0.47725，个人2考试成绩相互独立，记抽到数学成绩在区间（123，142.6]内的学生人数为X，则X～B(1000,0.47725),由题意，若ìïP(X=k)?P(Xk-1)X=k的可能性最大，则í，代公式P(X=k)?P(Xk+1)ïîì10010.47725=477.73ïk４得í，因为k为整数，

10010.47725-1=476.73ïîk炒所以k=477. 本课回顾

1．独立重复试验要从三方面考虑，第一：每次试验是在同样条件下进行，第二：各次试验中的事件是相互独立的，第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. 2．如果1次试验中某事件发生的概率是P，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为第3页

kkPn(k)CnP(1P)nk，公式可以看成[(1P)P]n展开式中的第k1项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系. 3．

X～B(n，p)，其中0

当(n+1)p是正整数时，k=(n+1)p-1或(n+1)p时，P(X＝k)取得最大值；

当(n+1)p不是正整数时，当k=[(n+1)p

]时，P(X＝k)最大。

4.相邻项法

七、教学评价设计

评价

方式

学习意愿

学

生

自

评

同学

互评

评价内容

评价项目

A 浓厚

强

强

强

多

独立思考（学习过程中的主动思考与思维发散）

学习满足感（学习后的获得感）

倾听与分享（理解别人的思路+与同学交流的意愿）

学习收获（知识与方法上的收获、练习完成质量）

评价等级

B 较浓厚

较强

较强

较强

较多

C 一般

中

中

中

一般

D 弱

弱

弱

弱

较少

对你的思考最有启发的发言（同学姓名与发言要点与评析）

八、作业设计

1.十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？

2. 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）按比赛规则甲获胜的概率．

3.选修2-3第59页B组第3题。（可借助计算器）

作业参考解答

1.解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次，∴从低层到顶层停不少于3次的概率

313164141551514919PC9()()C9()()C9()()LC9()

222222219233119345990129(C9C9C9LC9)()92(CCC)()(246)()

999222256k1k19kk19设从低层到顶层停k次，则其概率为C9()()C9()，

222第4页

12233答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．

256112.解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．

22k9k∴当k4或k5时，C9最大，即C9()最大，

记事件A=“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，

记事件C=“甲打完5局才能取胜”．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜

33∴甲打完3局取胜的概率为P(A)C3()121．

812113．

22161213．

216②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负. 22∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)C3()③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负. 222∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)C4()()12(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC，

又因为事件A、B、C彼此互斥，

故P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)答：按比赛规则甲获胜的概率为（3）解答见附件

1331．

8161621．

2九、核心素养体现

本节课设计主要体现了以下核心素养：数学抽象、逻辑推理、数据分析、数学建模、数学运算等。本节课的是对n次独立重复试验及二项分布模型的理解与深化，要求学生学会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的探究发现能力、自主学习建模能力，数据分析、逻辑推理与数学运算等综合能力。通过例题解决方法的探讨与问题的一般化，让学生充分体会问题的提出到解决的过程，以及由具体到抽象的数学思想方法. 教学中的设问或是不断的“逼问”，往往逼出学生的“别解”或是异类解法，这种行为的本身就是对学生的积极思考参与课堂的肯定，能够让学生品尝思考的乐趣，也能让老师及时发现学生思维的“亮点”，察觉学生的薄弱点。

比如，在例题中，有些同学就利用二项分布的均值公式EX=np得出EX=10×0.8=8，数值一样，这里是否暗含玄机，有没有一般性？这可以留给同学们思考辨析。

十、教学反思

第5页

新课程标准强调以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现，强调学生对知识意义的主动建构。本教学设计以此为指导思想，从具体到一般，以问题抓住学生的注意力、思维，学生在问题思考解决过程中实现思维的抽象、方法的提升。授课中的引导与激励很重要，能营造良好的学习氛围，能在学生困惑时、畏难停步不前时推一推，体验和享受成功与进步的快乐。本节课教学感悟主要有下面两点：

1. 学会变换，提升思维品质。

在问题求解中，不管是基本题还是灵活题，处理的关键还是立足基本，学会变换。变换的得当或是灵活，在于对基本知识的深刻认识，在于思考问题的角度与知识点、问题的对象的契合.在问题的解决中，要善于准确把握问题要求，变换表达方式，在尝试中接近问题的核心。在问题求解中，应养成良好的读题和审题的习惯。在读题中，完成语言的转化，完成基本思路的确立，完成解决方法的选择。容易的做熟练，就没有难的了，简单的做细，繁杂就不怕了。

2.学会反思，提高思维能力。

发展学生的思维能力是数学教学的根本任务，要使学生在面对问题时总能抓住问题的关键，找到对应的解决方法。例子的研究学习要让学生体会从概念、信息的联系中寻找解决问题的思路，解题后或是思维受阻的反思可以帮助学生拓宽或是找到解题思路，沟通条件与数学知识背后的联系。判断一节数学课学生是否“动脑”了，就是教师的启发是否真正促进了学生更积极地思考以及想得更深、更合理，就是教师的问题是否培养了学生持续思考的能力和耐力以及学生对问题解决方法反思的意识，等等.

第6页