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排列、组合问题的解答策略

第一节 特殊优先法

例1乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有

252

种

例2

将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有( 240

)种？

例3）1名老师和4名学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法

72 例4

从a、b、c、d、e，5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子里，问共有

72

种不同的放法？（用数字作答）

第二节 合理分类准确分步

例1

（天津）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有

300

个。（用数字作答）

例2

某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，第一节不排体育，第六节不排数学，一共有

504

种不同的排法？（用数字作答）

例3

有11名外语翻译人员，其中5名会英语，4名会日语，另外两名英、日语都精通，从中选出8人，组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，问共有

185

不同的选派方式？

例4

一个小组有10名同学，其中4女6男，现从中选出3名代表，其中至少有一名女生的选法有

(

100

)种？

例5

已知yf(x)是定义域Ax|1x7,xN，值域为B0,1的函数。

（1）试问：这样的函数f(x)共有多少个？126 （2）若对于定义域中x的4个不同元素，对应的函数值都是1，那么这样的函数f(x)共有多少个？35

第三节 选排问题先选后排法

例1

有5个男生和3个女生，从中选出5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数。（1）有女生但人数少于男生。（2）某女生一定担任语文科代表。（3）某男生必须在内，但不担任数学科代表。（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表。

(1)

5400

(2) 840

(3)

3360

(4)

360

例2

对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，每次取出一件测试，直到4件次品全测出为止，则第4件次品在第5次测试时被发现的不同情形有多少种？576 例3

在7名运动员中选4名组成接力队参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种。400 第四节 相邻问题捆绑法

例1

（全国）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（

C

）C、240种

例2

（北京）从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连接且顺序不变）的不同排列共有（B

）

B、480个

例3

计划在某画廊展开10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，245要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有DA2种A4A5

1

例4

有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有

1440

种。

第五节 不相邻问题插空法

例1

5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有

2880

种排法？

例2（辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，要安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（

B

）

B、346

例3

（全国）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有

12

种。（用数字作答）

例4

（1）4男3女排成一排，男、女生必须相间而排有

144

种排法？（2）4男4女排成一排，男、女生必须相间而排有

1152

种排法？（用数字作答）

例5

8个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有两个相邻，但这3个不同时相邻排列，求满足条件的所有不同排法的种数21600 第六节 正难则反，间接法

例1

编号为1，2，3，4，5的5人入座编号也为1，2，3，4，5的5个座位，至多有两人对号的坐法有

109

种？（用数字作答）

例2四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有D、141种

例3

（全国）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有B、12种

例4

4个不同的红球和6个不同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球：

（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？115 （2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4球的总分不低于5分。则有多少种不同的取法？195 例5

（全国）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3个班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（

B

）B、420种

第七节 定序均分问题先排后除法

例1

5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有

60

种？（用数字作答）

例2

按以下要求分配6种不同的书，各有几种方法？

（1）分成1本、2本、3本三组；60 （2）平均分成三组，每组2本；15 （3）分成3组，一组4本，另外两组各1本。15

第八节 不同元素分配的先分组后分配法

例1

按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？

（1）平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；90 （2）甲得1本，乙得2本，丙得3本；60 （3）甲、乙、丙三人一人得1本，

一人得2本，一人得3本；360 （4）甲、乙、丙三人中，一人得4本。另外每人各得1本。90 例2

5个不同的小球，分到3个不同的小盒中，每盒至少一个，有几种不同的分法？150

第九节 相同元素分配的隔板法

例1将组成蓝球队的10个名额分配给7所学校，每校至少1名，问名额的分配方式共有84

种？

例2

求(abc)展开式中共有45

项？（用数字作答）

8

2

第十节 分排问题直排处理法

例1

8人排成前后两排，每排4人，其中有2个女生要排在前排，另有2个因个子高要排在后排，问共有

3456

种不同的排法？（用数字作答）

例2

10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲、乙两个同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？2580480 第十一节 映射与涂色问题

例1

设A1,2,3,4,5,B6,7,8.从A到B可建立多少不同的映射？243 例2

A1,2,3,5,B4,，从6A,到7,B8的映射中，满足f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)的映射有

21

个？（用数字作答）

例3

要用四种颜色给四川、青海、西藏、云南四省（区）的地图染色（图13-11-1），每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的有

48

种？（用数字作答）

例4

（全国）如图13-11-2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有

72

种？（用数字作答）

第十二节 等价转化法

例1

从1~9的九个数字中，取出5个数进行排列，并把5个位置自右至左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？2520 例2

从1，2，3，…，10中每次取出3个互不相邻的数，问有多少种取法？56 例3

10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同的跨法？35

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