信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响课时教学实录

2018—2019

大同一中

高二数学（二级部）

理科

选修2—3

教案

§2.4正态分布

制作人：计琳

【教学目标】①通过高尔顿板试验，帮助学生了解正态分布密度曲线的来源；

②通过借助几何画板，讲解正态分布的概念及其曲线特点

③学生掌握利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题。

【教学重点】正态分布密度曲线的特点

【教学难点】正态分布密度曲线所表示的意义

【教学基本流程】课前自主学习情景引入高尔顿板试验总体密度曲线正态曲线与函数课堂练习正态分布正态曲线特点、3原则课堂检测课堂小结课后作业

【教学过程设计】

思考：在2019年高考模拟考试中，已知某省全体考生的模考平均成绩是430分，标准差是80，按照以往录取经验，计划一本录取率为15.87%，则一本录取分数线可能划在多少分？

一、高尔顿钉板实验引入

利用模拟高尔顿钉板实验的动画演示，让学生经过观察发现小球的下落规律，并观察下落的小球在槽中的分布的规律。

[视频1]高尔顿板试验原理：小球从高尔顿板上方通道口下落的过程中，小球经过每一层圆形小木块时，都要和其中一个小木块发生碰撞，结果有两种可能，一种是从小木块左边的空隙落下，另一种是从小木块右边空隙落下，最后落入底部的一个球槽内。小球到底落在哪个球槽内是很多次与小木块碰撞结果的叠加。

提问1：在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽吗？

讲解：投放一个小球的试验是一个随机试验，其结果就是小球落在某一个球槽内。重复投放n个小球，相当于作了n次独立重复试验。

[视频2]重复投放n个小球，相当于做了n次独立重复试验，某一槽中的球的个数就是小球落入这个槽中的频数，这个频数和槽中的小球堆积高度成正比。因此，各个槽中小球的堆积高度反映了小球落入各个槽内的频数分布规律。

提问2：我们要如何来反映高尔顿板试验中小球落入各个球槽的频数分布规律？

讲解：为了表达这个结论，课本把球槽编号，这实际上是把上述随机试验的结果与一些自然数建立起了一一对应关系，即构造了一个描述这个随机试验的离散型随机变量，从而可以用随机变量来研究试验的概率分布规律。

对于离散型随机变量来说，其分布列完全刻画了它的概率分布规律，但是现在无法知道所构造的随机变量的分布列，所以只能通过频率来近似。

由于现在的频率分布直方图相当于是等距分组的，所以频率直方图的外形和试验中小球的堆积形状是一样的，因此可以通过观察试验后小球的堆积形状发现这个随机变量的分布列特征。

提问3：如何由频率分布直方图得到总体密度曲线？

[几何画板1]当高尔顿板中小木块的排数越多，即底部的球槽个数越多时，频率分布直方图的组数越多，频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，它能很好的反映出总体在各个范围内的频率。有频率的性质可知：

（1）整条曲线与x轴所夹的总面积应该是1 （2）总体在任何一个区间内取值的概率等于这个范围内的曲边梯形的面积。

注意：严格地讲，随着试验次数的增加，这个频率直方图的极限形状是一个二项分布的图形，因此这个频率直方图的极限不是一条光滑的钟形曲线，因此，课本提到这个频率直方图的形状越来越“像”一条钟形曲线。我们用高尔顿板试验来模拟钟形曲线的来源。

二、正态分布

提问4：下面，同学们一起观察总体密度曲线的形状，看它有什么特征？

讲解：“中间高，两头低，左右对称”，具有这种特征的总体密度曲线就是或者近似的是以下函数的图象。（板书函数、标题）

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1、正态分布密度函数：,(x)12ex222,x(,)，其中和(0)为参数。我们称,(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。参数和(0)就是正态分布随机变量的均值和标准差，因此可以用样本平均值和样本标准差来估计。

1练习1：某随机变量ξ服从正态分布，其正态分布密度函数为φ(x)＝e8π(

) A．0和8

B．0和4

C．0和2

D．0和2 b-x28，则ξ的期望和标准差分别是2、一般地，如果对于任何实数a,b(ab)，随机变量X满足P(aXb),(x)dx，则称随机变a量X服从正态分布，则记为X~N(,2)。一般地，如果一个随机变量是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。

下面我们来研究这两个参数在图象上有怎样的影响：

（1）表示总体的平均数（它不就是前面学习的随机变量的？——期望，而期望是反映总体分布的？——平均水平）结合概率的性质及,(x)的解析式，大家思考一下，这个总体分布的平均数在什么位置呢？

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x对称；

③曲线在x处达到峰值12；

④曲线与x轴之间的面积为1.

（2）[几何画板2]演示，的改变对正态曲线的影响，得出后两条性质：⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；

⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

2练习2：设两个正态分布N(μ1，σ21) (σ1>0)和N(μ2，σ2) (σ2>0)的密度函数图象如右图，则有(

)

A.μ1<μ2，σ1<σ2

B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2

D．μ1>μ2，σ1>σ2

提问5：下面，大家一起来找找实际生活中哪些现象都服从或近似服从正态分布？

解答：生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标、测量的误差（如零件尺寸、寿命等）

生物学中，同一群体的某种特征（如某年某地高考生体检的身高、体重、肺活量等），一定条件下生长某农作物的产量等。

气象中，大同今年四月份的平均气温、平均降雨量等

生活中，某一时间段的车流量、人流量，同学的考试成绩等

总之，正态分布广泛存在于各个领域当中，在概率和统计中占有重要地位。（德国10元马克币）

三、利用正态分布计算某些概率的值。

来源学#科#网Z#X#K]2X~N(,)，则对于任何实数a0,P(aXa)a若a,(x)dx为图中阴影部分的面

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积，对于固定的和a而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小，X落在区间(a,a]的概率越大，即X集中在周围的概率越大。

[几何画板3]可以看到：正态总体几乎总取值于区间(3,3)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取(3,3)之间的值，并简称为3原则。

P(X)0.6827

P(2X2)0.9545

P(3X3)0.9973

练习3、设随机变量服从正态分布N(3,4)，若P(2a3)P(a2)，则a的值为

. 解决思考题

【课堂小结】：

【课堂检测】：

1、已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于

2、某中学组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为fx1210e(x-80)2200(xR)，则下列命题不正确的是（ ）

．．．

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A.这次考试的数学平均成绩为80分

B.这次考试的数学成绩标准差为10 C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

3、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数属于区间(

) A．(90,110]

B．(95,125]

C．(100,120]

D．(105,115] 【板书设计】：

预备知识：

本节知识点：

1、频率分布直方图

1、正态曲线：

2、频率分布折线图

电子板

2、正态曲线的特点

3、总体密度曲线

3、3原则

4、曲边梯形面积的求法

【课后作业】：

1、习题2.4

A组、B组题

2、限时训练