1.3 二项式定理（通用）教学教案设计

§1.3.1二项式定理

（人教A版高中新课标教材数学选修2-3）

《二项式定理》教学设计 楚雄州民族中学 李天兰

一、教学内容解析

《二项式定理》是人教A版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中数学多项式乘法的继续，是高中数学计数原理的应用，也是数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识． 二、学情分析

１．有利因素

授课对象是高二的学生，具有一定的抽象概括、归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题、解决问题的能力．学生刚刚学习了计数原理的知识，利于(ab)n展开式的探讨. ２．不利因素

本节内容思维容量较大，知识内容较新，对知识的产生过程的理解和对思维的严谨性和归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度． 三、教学目标

2341.知识与技能：利用计数原理分析的展开式，归纳类比抽象（ab）（,ab）（,ab）（ab）的展开式，即二项式定理；掌握二项展开式的通项公式、二项式中某一项的系得到数以及二项式系数，并能应用二项式定理解决简单应用问题.

n2.过程与方法：学生经历二项式定理的推导过程及应用，体验从简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象、归纳到猜想的数学思想方法，培养学生观察、发现能力和概括总结能力. 3.情感、态度与价值观：通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美． 四、教学重点、难点

1.教学重点：二项式定理的推导、定理的特征以及应用

2.教学难点:二项式定理的推导和应用

五、教学方法与教学手段

1.教学方法：问题启发教学法、探究式学习法

2.教学手段:多媒体展示教学

六、教学过程

创设情境

引入课题

回顾反思

归纳总结

感知体验

探究归纳

知识建构

形成定理

巩固新知

提升能力

链接高考

1

教学程序

创设情境、提出问题、引入课题

师生活动

问题引入：

（1）今天是星期三，7天后的这一天是星期几？

（2）15天后的这一天呢？

（3）8天后的这一天呢？

师生归纳：用7和15除以7，求余数，再用三加余数；

585（71），如何求出它除以7的余数呢？

5设计意图

数学来源于生活，应用于生活，问题的引入取自日常生活，由易到难，由会到不会.通过提出适当的问题，创设有效的数学情景激发学生探索知识的欲望，同时通过师生对问题的共同思考引入课题《二项式定理》

引入课题后，以问题的形式强调本节课的重点，让学生带着问题有目的性，方向性的探索本节内容. 以数学知识产生过程为引导，为探究本节内容的方法做提示，并将数学思想方法渗透到二项式定理的推导过程当中.

为了解决这个问题，我们需要学习《二项式定理》

创设情境、提出问题、引入课题

就课题《二项式定理》，教师以问题形式引出本节内容的重点：

1、定理研究什么问题? 2、定理的内容是什么?

3、定理怎么来的? 4、与计数原理有什么关系？

5、定理有哪些应用?

带着问题，进入本节内容的探索

体验师生共同回顾数学知识的产生过程：

感知：特殊→一般 具体→抽象 归纳→猜想

归纳在这里，应当如何特殊？如何具体？

特点n在(ab)中，n取2,3,4，进行具体探究

总结规律

n问题1：观察下列展开式，归纳猜想(ab)的展开式

(ab)2a22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3432234(ab)4a4ab6ab4abb

(ab)n=？

2（ab）(ab)(ab)

a

b

a

b

把(ab)(ab)看成两个装有a球和b球的盒子，从每个盒子里取出一个球，使球的编号进行相乘，利用计数原理，以取b球的情况作为分类，取

2

01零个b球，所有的取法种数是C2，取一个b球，所有的取法种数是C2，2取两个b球，所有的取法种数是C2，则

2（ab）(ab)(ab)0201202C2abC2abC2ab

（ab）展开式的推导，教师引导学生思考如何推导

有了以上对3（ab）的展开式

23同理：（ab）(ab)(ab)(ab)

a

b

a

b

a

b

把(ab)(ab)(ab)看成同时从三个盒子里各取一个球进行相乘，利用0计数原理，以取b球的情况作为分类，取零个b球，所有的取法种数是C3

由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察，只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．以取球为知识背景，形象生动的呈现定理推导的过程，学生更容易接纳理解.突破了难点.

，1取一个b球，所有的取法种数是C3，取两个b球，所有的取法种数是32取三个b球，所有的取法种数是C3，

C3，21230312030(

ab)C3abC3abC3abC3ab

3体验感知：归纳特点总结规律

总结以上两个例子，学生独立归纳以下二项展开式：

4(

ab)(ab)(ab)(ab)(ab)040131222313404C4abC4abC4abC4abC4ab

问题2：猜想(ab)n?

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

由学生独立完成由特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．在归纳总结的过程中要明确每一项的形式及相应的个数．

（即二项式定理）

3

知识

建构

形成

定理

问题3：定理有何特点？

以问题式教学法呈现《二项式定0n1n1(ab)nCnaCnabCnkankbkCnnbn(nN*)

理》的内容，带

动学生思考，加项

二项式

深印象，突出了二项展开式

二项式定理的公式特征：

重点，突破了难点．问题的提出，n1①展开式共项；

符合学生的思维②展开式中每一项的次数和都是n；字母a降幂排列，次数由n递减到0，发展规律，能准确地检验学生对字母b升幂排列，次数由0递增到n；

问题分析能力和k③各项的系数Cn(k0,1,n)叫二项式系数，是组合数

解决方法的能问题4：可否表示展开式任何一项？

力. knkkknkk④Tk1=Cnab是展开式的第k1项；

Cnab叫二项展开式的通项

巩固2n22ab

练习1.求(ab)n的第三项

解：T21Cn新知

15提升练习2.求（2x）的展开式的第五项x能力

1解：T41C54(2x)1()410x3

x（x）的展开式

例1：求11110615解：(x)6[x()]6C6x()0C6x()1xxxx1111243342145160C6x()2C6x()3C6x()C6x()5C6x()6xxxxx1561x66x415x220246xxx

思考1：展开式的第2项的系数是多少？

思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？

思考3：求展开式常数项

1x6适当的练习，由易到难，由浅入深，逐步渗透并

巩固定理的内容，让学生充分理解并掌握二项式定理中某一项，某一项的系数，某一项的二项式系数.

（2x）展开式的常数项与第三项

变式1.求

1x6133令6-2k0,k3,T31C6(2x)3()323C6160x

则常数项为160 22T2124C6x240x2，第三项为240x2

问题5：特别注意区分项、项的系数、二项式系数

4

解决85(71)5课前050141232323414505提问，C571C571C571C571C571C571巩固75C174C273C372C4715555提升

4132234学习了定理，并可解决课前提出的问题，前呼后应，巩固定理

7(7C57C57C57C5)185天后的这一天是星期四

链接1071.（2014年全国Ⅱ卷）若xa的展开式中，x项的系数是15，求a. 高考

解：

k10kkTk1C10xa,令10k7,k3333T31C10x7a3C10a3x7，系数C10a315，a35的展开式中，求x项的系数

x）12

进一步巩固了定理，同时强调了《二项式定理》在高考中的份量，促使学生进一步的重视本节内容

2.

（2016年全国Ⅰ卷）（2x解：

kTk1C5(2x)5k(x)kkk5k225kC5xxk25kC5x5k2,令5

k433,k4,T412C5x10x3,系数是10.2

以课前问题的形式小结本节课的重点. 回顾1、定理研究什么内容？

反思

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

归纳总结

2、定理怎么来的？

数学思想方法：特殊→一般

具体→抽象

归纳→猜想

3.定理的内容是什么？

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

项

项

二项展开式

4、定理与计数原理有何关系？

5.定理有哪些应用？

求出任何一项，任何一项的系数，二项式系数

5