2.2.2 反证法第二课时 公开课

反证法教学设计

一、教学目标：

1.

知识与能力：培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

2.

过程与方法：了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

3.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

二、教学重难点

教学重点：

1．理解反证法的概念，

2．体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3．用反证法证明简单的命题。

教学难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

三、课堂类型：新授课

四、教学过程：

1．复习回顾

上节课我们学习了用 ， 直接证明问题的方法。但是有的问题是显然成立的或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接方法就显的比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。

2．情景创设：

以王戎的《路边苦李》小故事情景引入新课。

3.

认识反证法

思考2:A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？

分析:假设C没有撒谎，则C真。那么A假且B假；由A假, 知B真. 这与B假矛盾。那么假设C没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎。

思考2:桌面上有3枚正面（有面额的一面）朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币。能使硬币全部反面朝上？

4.

反证法的概念：

（1）反证法的定义

一般地，假设原命题不成立，经过 ，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 ，这样的证明方法叫做反证法。

反证法是 的一种基本方法。

（2）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与

矛盾，或与 矛盾，或与定义、公理、 、 矛盾等。

5.

了解反证法：

反证法证明数学命题的四个步骤：

第一步：分清命题的条件和结论；

第二步：做出与命题结论相矛盾的假设；

第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；

第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真。

常见的主要矛盾有：

(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；

(2)与假设矛盾；

(3)与公认的简单事实矛盾。

6.例题讲解

例题：已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。

分析：要说明两个方面存在性和唯一性；

证明唯一性时可以用反证法。

证明；(存在性）a≠0，方程ax=b至少有一个根x=b/a.（以下为唯一性）

7.练习：

练习1、：用反证法证明：

如果a>b>0，那么a>b

练习2、：已知：一个整数的平方能被2整除，

求证：这个数是偶数

证明：假设a不是偶数，

则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)

∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1

∴a2是奇数，与已知矛盾。

∴假设不成立，所以a是偶数。

[说明]

(1)反证法是利用原命题的否定不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的。

(2)对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法。

8.课堂小结：

1、直接证明困难，原因何在？

①情况很多，分类讨论。

②条件太少直接证明找不到突破口。

反证法主要用于以下两种情形：

1、要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰。

2、如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。对于“不可能，至少，唯一性”等题目常用。

9.作业布置：教材课后的练习及习题。