1.2.2 空间中的平行关系优秀教学设计

9．2 线面平行、面面平行

一、明确复习目标

1．掌握空间直线和平面、平面和平面的位置关系；

2．掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定和性质，并能运用这些知识进行论证或解题. 3．能灵活进行“线线平行，线面平行，面面平行”之间的相互转化. 二．建构知识网络

1．直线和平面的位置关系有：

（1）直线在平面内； （2）直线和平面相交；

（3）直线和平面平行：

定义——．

2．线面平行的判定方法：

①a∩α=ф⇒a∥α(定义法) ②判定定理；

③b⊥a, b⊥α, a⇒a∥α； ④∥,a⊂

⇒a∥

⑤空间向量证线面平行. 3

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

4．判定平面平行的方法：

（1）根据定义——证明两平面没有公共点；

（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；

（3）证明两平面同垂直于一条直线. 5．平行平面的主要性质：

⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”.

⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”.

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.

⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等.

⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行. 三、双基题目练练手

1．（2006重庆）对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l

（ ） A．平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线

2．一条直线同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 （ ）

A

异面

B

平行 C

相交

D

不能确定

3．(2005广东)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

1

①若m,lA,点Am,则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l//,m//,且

且nl,nl,nm,则n；

③若l//,m//,//,则l//m；

④若l,m,l∩m=点A,l//β,m//,则//

其中为假命题的是

（ ）

A．①

B．②

C．③

D．④

4．如果//,AB和CD是夹在平面α、β之间的两条线段，AB⊥CD，且AB＝2，直线AB与平面α成30角，那么线段CD的取值范围是 （ ）

2343 B.A.,3301, 3

23 D.23C.,1,35．设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________. 6．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________. ◆答案提示：1-4.CBCD; 5. 6. 平面ABC、平面ABD

四、经典例题做一做

【例1】：如图，设a,b是异面直线,AB是a,b的公垂线,过AB的中点O作平面α与a,b分别平行,M,N分别是a,b上的任意两点,MN与α交于点P,求证P是MN的中点. 证明:连接AN,交平面α与点Q,连PQ, ∵b∥α,b平面ABN,平面ABN∩α=OQ, abac; b

∴b∥OQ，又O为AB的中点，

∴Q为AN的中点. ∵a∥α，a平面AMN且平面AMN∩α=PQ

∴a∥PQ. ∴P为MN的中点. 【例2】如图，四面体A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形. (1)求证：CD∥平面EFGH.

2

(2)求异面直线AB、CD所成的角. (3)若AB＝a，CD=b，

A E B G 求截面EFGH面积的最大值. C

H F D （1）证明：∵截面EFGH是一个矩形，

∴EF∥GH，

又GH平面BCD. ∴EF∥面BCD，而EF面ACD，

面ACD∩面BCD=CD. ∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH. （2）解：由（1）知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角.易得∠EFG=90. （3）答案：ab/4 ◆思悟提炼：灵活进行：“线线平行线面平行”.

【例3】

已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

（1）求证：直线MN∥平面PBC；

（2）求直线MN与平面ABCD所成的角

_

P_

M_

D_

A_

C_

O_

N_

B_

E

证明（1）：∵P—ABCD是正四棱锥，

∴ABCD是正方形.连结AN并延长交

BC于点E，连结PE. ∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND. 又∵BN∶ND=PM∶MA，

∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE.又∵PE在平面PBC内，

∴MN∥平面PBC. 解（2）：由（1）知MN∥PE，

∴求MN与平面ABCD所成的角即可.

3

作PO⊥面ABCD于O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角. 由正棱锥的性质知

132. 2由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，

PO=PB2OB2=

∴BE=65. 865，

8在△PEB中，∠PBE=60°，

PB=13，BE=91. 813291在Rt△POE中，PO=，PE=，

28PO42∴sin∠PEO==. 7PE42故MN与平面ABCD所成的角为arcsin. 7◆思悟提炼：证线面平行，一般是转化为证线线平行. 根据余弦定理，得PE=求直线与平面所成的角一般是作出线与面所成的角—转化为一个平面内的线线角. 【例4】如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a. （1）求证：平面AD1B1∥平面C1DB；

（2）求证：A1C⊥平面AD1B1；

（3）求平面AB1D1与平面BC1D间的距离.

D1C1

O1

B1A1

M

NC

DO

AB（1）

证明：∵D1B1∥DB，∴D1B1∥平面C1DB.同理，AB1∥平面C1DB. 又D1B1∩AB1=B1，∴平面AD1B1∥平面C1DB. （2）证明：∵A1C1⊥D1B1，而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，∴A1C1⊥D1B1. 同理，A1C⊥AB1，D1B1∩AB1=B1. ∴A1C⊥平面AD1B1. （3）解：设A1C∩平面AB1D1=M，

A1C∩平面BC1D=N，O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心. 则M∈AO1，

4

N∈C1O，且AO1∥C1O，MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离，即MN=A1M=NC=31A1C=a. 33五．提炼总结以为师

1.直线和平面平行的判定方法：

2．证明两平面平行的常用方法：

3．解题中，要注意灵活地实施下面的转化: 线线线面面面；立体几何平面几何；从而使问题简

同步练习 9.2线面平行、面面平行

1.、是两个不重合平面，l,m是两条不重合直线，那么∥的一个充分条件是（ ）

A.l,m,l∥,m∥

B.l,m,l∥m C.l⊥,m⊥,l∥m D.l∥,m∥,l∥m

2．(2005年高考·湖北卷·文8)已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：

①若ab,bc,则a//c； ②若a//b,bc,则ac；

③若a//,b,则a//b； ④若a与b异面，且a//,则b与相交；

⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2

C．3 D．4 3．设线段AB、CD是夹在两平行平面、之间的异面线段，点A、C，B、D，若M、N分别是AB、CD的中点，则有 （ ） A.MN=1(AC+BD B.MN>1(AC+BD) 2C.MN<1(AC+BD) 222D.MN与1(AC+BD)大小关系不确定. 【填空题】

4．（2004全国Ⅰ）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是

①两条平行直线; ②两条互相垂直的直线；

③同一条直线；

④一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）

5

5.（2005湖南）．已知平面,和直线，给出条件：

①m//；②m；③m；

④；⑤//. （i）当满足条件 时，有m//；

（ii）当满足条件 时，有m.

（填所选条件的序号）

6.以下六个命题：

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行；

（2）平行于同一条直线的两个平面平行；

（3）平行于同一平面的两个平面平行；

（4）与同一条直线成等角的两个平面平行；

（5）一个平面上不共线三点到同一平面的距离相等，则这两个平面平行；

(6）两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行.其中正确命题的序号是____________.

◆答案提示： 1-3．CAC； 4.①②④

5.③⑤,②⑤ ; 6. 解：（1）、（3）

【解答题】

7.如下图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=6

a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD

3

解：在面PCD内作EG⊥PD于G，连结AG

∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，

∴CD⊥PD∴CD∥EG. 又AB∥CD，∴EG∥AB. 若有EF∥平面PAD，则EF∥AG，

∴四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF. ∵CE=a2(6a)2=3233a，△PBC为直角三角形，

∴BC=CE·CPCP=3a，

6

AFEGPE===ABCDPC3a3a33a=2

3故得AF∶FB=2∶1时，EF∥平面PAD.

8．如图，A，B，C，D四点都在平面，外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

β

B2 B

C

B1

α

C1

D1

D

A1

A2

C2

D2

A 证明：∵ A，B，C，D四点在内的

射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，∴A，B，C，D四点共面．

又A，B，C，D四点在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，

∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．

∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．

∴AB∥CD．同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．

PCA、B、C分别是

PBC、9.P是ABC所在平面外一点，A、

PAB的重心，

（1）求证：平面A'B'C'||平面ABC; (2)求SA'B'C'''':SABC

,,,证明:分别连PA,PB,PC并延长分别交BC,AC,AB于D,E,F

则D,E,F分别是BC,CA,AB的中点. PA,2PC, PD3PFA,C,||FD，

同理A,B,||DE, 平面A'B'C'||平面ABC

(2)AB//DE ABPA,2, DEPD3,1A,B,1

又DE=AB，

2AB3,,, 易证ABC∽ABC

SABC:SABC=1:9 '''

7

10．如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且AMDN=，求证：直线MN∥平面PBC。

MBNPPNDC

分析：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC

证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得

AMB

DCNR=DNNPNR=AM=ABMB

MBMB=DCMBNR=MB

MB∵NR∥DC∥AB，

∴四边形MNRB是平行四边形

∴MN∥RB. 又∵RB平面PBC，

∴直线MN∥平面PBC

证法二：过N作NQ∥AD交PA于点Q，连结QM，

∵AM=DN=AQ，

MBNPQP∴QM∥PB又NQ∥AD∥BC，

∴平面MQN∥平面PBC

∴直线MN∥平面PBC

证法三：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，

依题意有BM=PN=NR，

ABPDDC∴NR=MB，BR=BM+MN + NR=MN

8

∴MN∥RB又∵RB平面PBC，

∴直线MN∥平面PBC

【探索题】

三个平面两两相交，有三条交线，求证：这三条交线互相平行，或交于一点. 证明：设a,b,

c，则a,b，不平行就相交. 若a//b，可证c//a//b; 若a,b相交，设交点为P，可证P也在c上.

9