利用一个一次函数的图象解决问题优秀教案

《19.2.3一次函数与一元一次方程》教学设计

一、教材分析

（一）教材所处的地位和作用

《一次函数与一元一次方程》

是人教版八年级（下）第十九章第二节第三部分第1课时的内容。本节的主要知识点是探究一次函数与一元一次方程之间的内在联系。本节课涉及到的方程和函数学生在以前已经学习过，但本节并不是对以前所学知识进行简单的复习回顾，而是从另一个全新的角度把这两者融合在一起。用函数的观点来看一元一次方程，同时一次函数的问题也可以转化成一元一次方程来解决。所以在本节课的教学中，要注重知识间的相互联系，是新旧知识的融会贯通。体现函数的重要性，加大分析问题的深度。通过本节课的学习，让学生更加深刻的感受到函数建模思想的重要性及数形结合在数学中的广泛运用。

（二）教学目标

知识技能：1.了解一次函数与一元一次方程之间的联系。

2.用函数地观点重新审视一元一次方程。

数学思考：1.通过函数与方程之间的相互转化，培养学生数形结合的思想。

2.培养学生用全面的观点处理局部问题的思想。

解决问题：一次函数与一元一次方程互相转化解决实际问题。

情感态度：在问题的探究过程中，培养小组合作意识，让学生通过自己的探索，获

得成功的体验。

（三）教学重难点

重点：理解一次函数与一元一次方程之间的内在联系。

难点：利用数形结合思想，多方位、多角度地分析问题，从而用不同方法解决实际问题。

二、教法分析

（一）教学方法

本节课是建立在学生所熟知的旧知上的，所以我将以学生的探究为主，教师引导为辅，给学生足够的时间与空间让他们自己去探索，去发现，去归纳。在此过程中，教师是一个引路人，在学生失去方向时点一盏指引路途的灯。

（二）教学手段

采用多媒体与传统黑板教学相结合的模式。多媒体手段可以更加形象直观地数、形结合，而黑板可以弥补多媒体逆转不方便的缺点，适当的记录课堂重点，便于学生及时回顾。

三、学法分析

（一）、学情分析

学生在前面的课程中已经较熟练地掌握了一次函数的相关概念，并能通过建立函数模型来解决一些简单的实际问题。对一元一次方程的解法也很是熟悉。八年级学生这个年龄阶段活泼、好动，表现欲较强，思维也比较活跃。但抽象思维能力还比较薄弱，有待提高。教师要给予合适的启发、引导，逐步渗透数形结合的思想。

（二）学法指导

首先从一个每位学生都能解决的问题着手，调动起学生学习的积极性，活跃了课堂气氛，也充分给了学生自信心。再让学生以小组合作的模式进行探究，充分弥补学生考虑问题不周全的缺陷。然后让学生对自己的发现进行归纳总结，培养学生的概括能力及语言表达能力。整堂课让学生经历观察、猜想、探究、归纳总结的过程，培养学生有条理思考问题的良好品质。

四、教学过程：

（一）、创设情境

导入新课

今天老师从家前往学校来上课，刚出发时我的速度是5m/s，但是我感觉我可能迟到，所

1 / 5

以速度每秒增加2m/s，问：（1）过了几秒，我的速度是17m/s？（2）假如我的速度是ym/s，你能写出速度y与时间x函数关系式吗？

求解（1）2x+5=17； （2）y=2x+5 师：如何从函数的角度看解一元一次方程呢？今天我们就一起来学习《一次函数与一元一次方程的关系》

设计意图：用生活实际情景引入课题，让学生很自然的接受知识，也比较感兴趣。

（二）、自定目标

出示课题后，先有学生自己制定学习目标，再师生共同制定并出示学习目标，学生齐读学习目标。

学习目标：1、会用函数观点从数和形两个角度对解一元一次方程进行描述；2、体会数学知识的融会贯通，发现数学的美。

（三）、自主学习

1、自学指导：认真阅读课本第96页的内容，思考下列问题：

（1）完成【思考】部分的问题；

（2）通过19.2-6的图像你能发现什么？

（3）从函数的角度解释[思考]中的三个一元一次方程。

2、自己阅读本节内容

（根据自定的目标，带着问题仔细的阅读本节课的内容，归纳重点，解决疑难，初步完成知识技能和数学思考目标）

3、自主归纳、应用

（学生自己找出易错点，重点，待解决的深难度问题，做课后习题自主应用新知识）。

【设计意图】通过学生根据学习的需要谈学习目标，老师加以完善，让学生明确本节课的教学重点和难点。让学生进入自主学习状态，根据老师的自学指导完成本节课自学任务，提前感知本节课内容。

【教师重点关注】学生是否能独立自学，能否在课本上找到最基础的认知知识，能否找到疑难问题。

（四）、自由交流

①同桌之间互相述说自学所获知识内容

（仅限自己自学阅读得到的重点定义、性质等可直接获得的内容）

②小组之间交流学习方法

（本节课学习内容所用到的一般的解题方法，例题中给出的规范的书写、解题格式等）

③查漏补缺，取长补短

（通过生生交流，将别人学习到的知识和方法，自己没有理解透彻的内容方法记下来，反复记忆，应用。）

④阶段性小结归纳：自学检测

1、观察下面3个方程有什么共同点与不同点？

（1）2x13

（2）2x10

（3）2x11

以上3个方程相同的特点是：等号左边是 ，不同点是：等号右边分别是 ， ， . 画出一次函数

y2x1的图象，

2 / 5

3、从函数的角度对以上3个方程进行解释. 解释1：3个方程相当于在一次函数 y2x1的函数值分别为3，0，-1时，求自变x量的值. 解释2：在直线 y2x1

上取纵坐标分别为3，0， -1的点，它们的横坐标分别是 ， ， . ⑤展示学习成果

活动一：基础过关

2、直线

yaxb 在坐标系中的位置如图，则方程

axb0

的解是χ=___ 活动二：强化训练

1、直线

y3x9与x轴的交点是（

）

A．（0，-3）

B．（-3，0）

C．（0，3）

D．（0，-3）

2、方程

3x28的解是 ，则函数 时的函数值是8. 3、根据图象，你能直接说出一元一次方程

x30的解吗？

4、已知直线

y2x4

与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积. 解：由已知可得：

当χ=0时，y=4，即：B（0，4）

当y=0时，χ=2，即：A（2，0）

则S △AOB=0.5 x OA x OB =0.5 x 2 x 4 =4 【教师重点关注】：交流方式是否多样，学生交流参与度达到100%，讨论气氛是否热烈，能否交流巩固简单基础知识，能否找出疑难点，学生的表述是否清晰准确，是不是每个人都有收获和感悟，三维目标实现的程度。

（五）、合作探究

3 / 5

y3x2在自变量 等于

1、帮老师课前的问题：一元一次方程2x+5=17的解: 方法1：现将方程变形为：2x-12=0,则：一次函数y=2x-12，当函数值y=0时，自变量的值为x=6，从图像上看是直线y=2x-12与x轴交点（6,0）的横坐标。

方法2：一次函数y=2x+5的函数值为17时，自变量x的值为6；从图像上看，在直线y=2x+5上取纵坐标为17的点，看它的横坐标是多少。

学生中还有多种方法，可以让学生逐一讲解。

设计意图：利用不同的思路和不同的函数解这个方程，掌握一题多解的方法。

2、利用函数图像求方程6x-3=x+2的解。

方法一：先将方程6x-3=x+2变形为：5x-5=0，然后画出函数y=5x-5的图像，直线y=5x-5与x轴交点（1,0）的横坐标，所以原方程的解是x=1。

方法二：把方程6x-3=x-2看做两个函数：y=6x-3与y=x+2，当x为何值时，两个函数值相等，可从图像中看出，两直线交点为（1,3），即方程的解为x=1. 设计意图：这一练习题将难度升级，尤其是方法二，引导学生利用两个函数图像的交点解方程。

学生活动：①适当分组（由于学生学习能力的差异，需要合适的分组，将学习能力较强和较弱的同学分组，小组内各个成员要分工明确，精诚团结）②先独立思考再与他人合作探究③展示探究成果

老师活动：关注每一小组学生探究活动，并适时指导点播

【设计意图】通过小组合理分工，利用本节课学习的知识解决数学问题

【教师重点关注】：探究前的学生是否先独立思考，探究中的小组

是否有合理的分工，探究展示中，学生的语言表述是否完整，是否正确，是否有不同方法，整个环节能否通过“兵教兵，兵带兵”的方式互相学习。

活动三：提升演练

1、当自变量取何值时，函数

多少？

2、直线y3x6

与x轴的交点的横坐标 x的值是方程

2xay5x12与

y5x17的值相等？这个函数值是0

的解，求a 的值. 【设计意图】通过合作探究学生至少掌握两种解决此类型的方法，通过两个练习再此进行加深巩固。

反思小结

理清脉络

本节课是从函数的角度解一元一次方程，分别从“数”和“形”的角度进行：方程的解是：

“数”角度：当一次函数y=ax+b函数值为零时，求相应自变量的值。

“形”的角度：从图像上看，求直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标。

（六）、课后拓展：

还是课前的问题，请你课后预习，帮老师解决：当x在何范围内时，速度大于17？或当x在何范围内时，速度小于17？

作业布置、课后反馈

1.必做：课本129页习题14.3 1 ， 2 2.选做：还记得刚上课时让同学们自主写下的一次函数和函数图像吗？现在有用了哦！

针对你的函数编一道应用题，并给出正确解答。

（通过必做题反馈学习效果，即时发现并解决问题。选做题培养学生的创造意识。分层作业充分发展每位学生的能力。）

4 / 5

五、设计理念

本节课的设计遵循学生的认知规律，让学生通过动手、动脑、动口的自主探究，经历知识的产生、发展、形成与应用的过程，重在培养学生的观察、分析、抽象概括的思维能力。

本节课体现学生主体、教师主导的地位，多数时间让学生自己去探究，当学生敢于表述自己的观点时，及时的予以鼓励性的评价。

5 / 5