29.2 直线与圆的位置关系教学实录

直线与圆的位置关系教学设计

程庄中学

王静静

【教学目标】1、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。

2、根据定义来判断直线和圆的位置关系，会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线。

3、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置。

【教学重点】

探索并理解直线与圆的三种位置关系；

【教学难点】

直线与圆的三种位置关系性质和判定的正确运用

【教具准备】

圆规和直尺

【学习准备】

一把直尺、一枚硬币

【设计思想】新课程明确指出：“学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解过程”。学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为有效的知识。教师应该提供多样化的活动方式，让学生积极参与，并在这些丰富的活动中进行交流，亲身体验做“数学”。因此我通过动画演示、两个实际动手操作题及反馈练习题，让学生经历观察、操作、描述、猜想、交流，使学生真正从事思维活动，并表达自己的理解，促进数学的学习。在本课教学中我采用动手操作、小组讨论，合作学习的方式，构建探索性学习的课堂教学结构，即“情景导入---研讨应用---交流评价”的基本教学模式。尽可能让学生在学习的过程中探索并掌握直线与圆的三种位置关系的性质定理和判定定理，理

解合作共享，培养学生的合作精神、探索能力,发展学生的思维。

【学习过程】：

一、创设情境、激趣导入：

动画演示“太阳升起的情景”，让学生观察地平线与太阳的位置关系，从而导入课题。太阳从地平线上缓缓升起时，太阳与地平线的位置关系；铁轨上飞奔的列车，它的轮子与铁轨之间的位置关系；能不能结合我们学过的知识，把它们抽象出几何图形，再表示出来呢？这些都给了我们直线和圆的位置关系的印象，那么平面上给定一个圆和一条运动着的直线或给定一条定直线和一个运动着的圆，它们之间有着若干种不同的位置关系，如果从数学角度看，它的若干种位置关系能分为几大类？

设计意图：作为学生学习的数学知识，不应当是独立于学生生活的“外来物”。数学的学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。因此我采用学生非常熟悉的现实情景，并用动画演示“日出”情景，给学生提供贴近生活现实的背景。让学生感受到数学产生于生活，与生活密切相关，并能使学生更好的直观感受直线和圆的位置关系，便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系，有利于学生把实际问题抽象成数学模型。

二、动手操作、合作发现：

（1）请同学们在练习本上画一个圆，把直尺边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，观察直线和圆有几种位置关系？

（2）在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，

观察直线和圆有几种位置关系？通过刚才的研究，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点最少时有几个？最多时有几个？你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型？分类的标准各是什么？

教师指导学生从直线和圆的公共点的个数来研究直线和圆的位置关系,让学生尝试用用自己的语言叙述出直线和圆的三种位置关系，并让学生到黑板上画出不同位置关系下的直线和圆，教师结合图形介绍“相交、相切、相离的定义”。从而让学生自己完成定义部分。1.直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；2.直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线；3.直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

设计意图：美国心理学家罗杰斯认为，要使学习具有意义，就要让整个人投入学习活动，而不能让学习活动成为只是“颈部以上发生的学习”,因此动手操作就是一个很重要的方面。通过以上两个活动，学生亲身品尝到自己发现的乐趣，在师生交流中有利于提高学生的语言表达能力，创造性思维能力也得到很好的锻炼。

问题1：有人说：“直线和圆有一个公共点时，叫做直线和圆相切”，你认同吗？为什么？

问题2：如图的直线与⊙O有怎样的位置关系?

·O .o

三、探索新知、引导归纳

通过刚才的研究我们已经知道，借助公共点的个数可以判定直线和圆的位置关系，象上图公共点的个数不好判断，该怎么办？除从直

线和圆的公共点的个数来判断直线与圆的位置关系外，是否还有其它的方法呢？请同学们思考一下，能否象判定点和圆的位置关系那样，用数量关系来判定直线和圆的位置关系呢？向学生展示圆心O到直线l的距离为d，观察d与圆⊙O的半径r的大小在不同的位置关系下有什么关系？指导学生观察已经确定的直线和圆的三种位置关系，得到所需的结果：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有

（1）直线l与⊙O相交 <=> d d=r（3）直线l与⊙O相离 <=> d>r 设计意图：爱因斯坦曾说：“学起于思，思源于疑。”学生的创新能力,就是在遇到要解决的问题时会分析、解决问题。这就要求教师要有目的性提出问题让学生思考，能够让学生产生思维上的矛盾。因此我用一个结论不太明确的题目给学生营造一个创新的条件、机遇和氛围。通过类比，掌握用定量研究来解决直线和圆的位置关系以及它们的数量特征。为了归纳出直线与圆的位置关系，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神。

总结：由此可知判断直线与圆的位置关系有两种方法:一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用圆心到直线的距离d与圆半径半径r的大小关系来断定。

设计意图：在这安排了即学即练的两个练习，帮助学生掌握直线和圆的位置关系所反映出数量关系

⒈练习一：已知圆的直径为10cm，如果直线和圆心的距离为

⑴

3cm；

⑵5cm；

⑶

6cm 那么直线和圆的位置关系分别是怎样的？

2.练习二：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，若直线和⊙O有交点，则下列结论正确的是：（ ）

A d=r B d≤r C d ≥r D d

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC= 4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有什么样的位置关系？为什么？（1）r=2cm;（2）r=2.4cm; (3)r=3cm 设计意图：数学教育的价值并非单纯地通过积累数学事实来实现的，它更多地通过对重要的数学思想方法的领悟、对数学活动经验的条理化、对数学知识的自我组织等活动来实现的。本题给学生充分的

时间去考虑解决这个问题，培养学生独立解决问题的能力，引导学生去发现：解决直线与圆的位置关系的关键是把圆心C到直线AB的距离d求出来，把新知识纳入学生的认知结构中。

五、达标测验：

1.已知圆的直径为12cm，如果直线和圆心的距离为6cm那么直线和圆的位置关系______；如果直线和圆心的距离为8cm那么直线和圆有___公共点；

2、

在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,以点C为圆心,2为半径的圆和AB的位置关系是_________________. 3、直线L与半径为r的⊙O相交,且O到直线L的距离为5,则r取值_______ 4、已知⊙O的半径为4cm，直线l上的点A满足OA=4cm，直线l和⊙O有怎样的位置关系？为什么？

设计意图：从知识的掌握到知识的应用不是一件简单的自然而然就能实现的事情，必须经过充分的有意识的训练。这组反馈练习，从多个角度考察学生掌握及运用新知的情况，在学生独立完成过程中，不仅巩固了知识，也学会多角度思考问题，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，发展了思维，学会做数学。其中第4题，学生容易出现问题，教师要帮助学生理解定理中d是圆心到直线的距离，并结合具体图形指导学生理解，当OA不是圆心到直线的距离时，直线l和⊙O相交；当OA是圆心到直线的距离时，直线l是⊙O的切线。

六、拓展训练：

如图，公路MN和公路PQ在P点交汇∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m. 假设拖拉机行驶时周围100m以内会受到噪音的影响. (1)画出学校到公路MN的距离

(2)求出学校到公路MN的距离，并说明拖拉机在公路MN上行驶时，学校是否会受到噪音影响？

(3)若学校会受到噪音的影响，且拖拉机速度是6m/s，那么学校受影响的时间有多长？

设计意图：这道题从实际问题入手，利用直线与圆的位置关系解决一道噪音影响问题，这里还应用了垂径定理和锐角三角函数等知识，对于前边所学知识也是一种检测，也把这节课所学的知识加以运用。

七、体会联想：可从以下几个方面进行：

1、知识回顾、归纳总结（1）.直线和圆的三种位置关系①直线和圆相交．②直线和圆相切．直线叫圆的切线，唯一的公共点叫做切点．③直线和圆相离（2）.如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有①直线l与⊙O相交 <=> d

<=> d=r③直线l与⊙O相离 <=> d>r 2、对我的启发：用数量关系判定“点和圆的位置关系”与“直线和圆的位置关系”的联系，给你什么启发？

3、我还想探究……

设计意图：体会联想提供了学生反思的机会，也有利于把知识系统化，使学生真中构建自己对数学知识的理解，形成一定的数学思想和方法。同时教师也了解了学生的真实情况，便于帮助学生认识自我，建立自信，也便与下一堂课作适当的调整与准备。

八、作业：课后习题3，4，6。

设计意图：以便于学生巩固所学知识

九、结束语：数学使人聪明,数学使人陶醉,数学的美陶冶着你、我、他。希望同学们象这朝艳阳,蓬勃向上,生机盎然，热爱生活，学好数学。

十、板书设计：

29.2直线与圆的位置关系

公共点个数 位置关系 数量关系

2个 相交 d＜r 1个 相切 d=r 0个 相离 d＞r 十一：教学反思：通过本节课的教学，我认为成功之处有以下几点：

1、在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，我先引导学

生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来

思考问题，解决问题，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分

理解位置关系与数量关系的相互转化，这种等价关系是研究切线的理论基础，从而为下节课探索切线的性质打好基础。

2、新课标下的数学强调人人学有价值的数学，人人学有用的数学，为此，在小练习之后我及时地进行总结归纳方法，让学生在以后解决实际问题过程中能一下子找到切入点，培养学生解决实际问题的能力。

不足之处：对于我们学生的情况，初三的教学始终没有摆脱灌输式教学，尽管课上也让学生自主操作、思考，但老师讲的太多，没有给予学生足够的探索、交流的时间，势必会

影响到部分学生的思维，限制了学生的发展。所以，我们也要学会该“放手时就放手”，大胆地让学生去思考，也许会有意外的收获。

总之，在今后的数学教学中还有很多需要我学习和掌握的东西，希望能和学生们一起共同进步，真正成为一名更优秀的数学教师。