复习参考题教学评价实录

第四节

基本不等式

1．基本不等式ab≤a＋b

2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；

ba(2)a＋b≥2(a，b同号)；

a＋b2(3)ab≤2(a，b∈R)；

a＋b2a＋b(4)2≤2(a，b∈R)．

3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述2为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

q2(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

422[小题体验]

11．函数y＝x＋(x>0)的值域为________．

x答案：[2，＋∞) 2．(教材习题改编)设x，y∈R＋，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．

答案：81 3．若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则xy的最大值是________．

1解析：∵x，y∈(0，＋∞)，则1＝x＋4y≥4xy，即xy≤. 16

答案：1

16

1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

[小题纠偏]

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当a≥0，b≥0时，a＋b≥ab(

) 2a＋b≥ab成立的条件是相同的(

) 2(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与xy(3)x＞0且y>0是＋≥2的充要条件(

) yx答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．若f(x)＝x＋1(x>2)在x＝n处取得最小值，则n等于(

) x－2B．3

D．4 5A．

27C．

2答案：B

考点一

利用基本不等式证明不等式重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

111已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：x－1y－1z－1>8. 证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，

1－xy＋z2yz1所以x－1＝x＝x>x，①

1－yx＋z2xz1－1＝yy＝y>y，②

1－zx＋y2xy1－1＝zz＝z>z，③

又x，y，z为正数，由①×②×③，

111得x－1y－1z－1>8. [由题悟法]

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

[即时应用]

11设a，b均为正实数，求证：2＋2＋ab≥22. ab证明：由于a，b均为正实数，

11所以2＋2≥2 ab112·＝，

a2b2ab11当且仅当2＝2，即a＝b时等号成立，

ab2又因为ab＋ab≥2 2ab＝22，

ab·2当且仅当＝ab时等号成立，

ab112所以2＋2＋ab≥＋ab≥22，

ababa＝b，当且仅当2ab＝ab，2211

4即a＝b＝2时取等号．

考点二

利用基本不等式求最值题点多变型考点——纵引横联

[典型母题]

11

已知a>0，b>0，a＋b＝1，则a＋b的最小值为________．

[解析]

∵a>0，b>0，a＋b＝1，

ba11a＋ba＋b∴a＋b＝a＋b＝2＋a＋b≥2＋2 1＝时等号成立. 2ba11·＝4，即aba＋b的最小值为4，当且仅当a＝b

[答案]

4

[类题通法]

利用基本不等式求最值的方法

利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：

(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．

(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．

[越变越明]

111＋a1＋b的最小值为________．

[变式1]

母题的条件不变，则ba11a＋ba＋bba1＋a1＋b＝1＋2＋a·2＋b＝5＋2a＋b≥5＋4＝9.当解析：＝1＋ab1且仅当a＝b＝时取等号．

2答案：9 11[变式2]

母题的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为ab________．

1111解析：由a＋b＝4，得＋＝1. 4a4b111ba1＋(a＋b)＝＋＋≥＋2 ∴a＋b＝4a4b24a4b21当且仅当a＝b＝时取等号．

2答案：1 21[变式3]

若母题条件变为“已知a>0，b>0，a＋2b＝3”，则a＋b的最小值为________．

12解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，

33211221∴a＋b＝3a＋3ba＋b

ba·＝1. 4a4b

4a4b＝＋＋

33b3a4≥＋2 3a4b8·＝. 3b3a33当且仅当a＝2b＝时取等号．

28答案：

3b2[变式4]

若母题的条件变为“已知a为正实数且a＋＝1”，则a1＋b2的最大值为22________．

解析：因为a>0，

所以a1＋b＝2 21＋b2a＋22221ba2＋2

22≤222，

21b2b13又a＋2＋2＝a＋2＋2＝2，

1332所以a1＋b2≤22×2＝4，

当且仅当a＝32，b＝时等号成立．

2232. 4即(a1＋b2)max＝答案：

32

4本题求最值利用了拼凑法，拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

b2[变式5]

若母题变为：设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则ac的最小值是________．

a＋3c解析：∵a－2b＋3c＝0，∴b＝，

222b2a＋9c＋6ac6ac＋6ac∴ac＝≥＝3，

4ac4ac当且仅当a＝3c时取“＝”．

答案：3 [变式6]

若母题变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项14am，an，使得am·an＝22a1，则＋的最小值为________．

mn解析：设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2. m1n1am·an＝22a1⇒a12m1·a12n1＝8a2·2＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，

1⇒2－－－－14114＋(m＋n) 则＋＝mn5mn1n＋4m≥1(5＋24)＝9，

＝5＋5mn55当且仅当n＝2m＝9答案：

5

10时等号成立．

3考点三

基本不等式的实际应用重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)1与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二2氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

y180 000解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x＝x＋x－200≥2 2180 000x·x－200＝200，

2180 000当且仅当x＝x，即x＝400时等号成立，

2故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

12(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－2x－200x＋80 000＝11－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，因为x∈[400,600]，

22

所以S∈[－80 000，－40 000]．

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．

[由题悟法]

解实际应用题的3个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

[即时应用]

某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．

(1)用x表示y；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．

解：(1)由题意得，y＝100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x，

x100即y＝x＋x＋1.5(x∈N*)．

(2)由基本不等式得：

100y＝x＋x＋1.5≥2 100x·x＋1.5＝21.5，

100当且仅当x＝x，即x＝10时取等号．

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．

1．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为(

) A．1

1C．

21B．

4D．2

211解析：选B

∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成42立．

ab2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(

) baA．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

a解析：选B

因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而b＋bab≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．

aba3．已知a＋b＝t(a＞0，b＞0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝(

) A．2

C．22

B．4

D．25 a＋b2t2t解析：选C

因为a>0，b>0时，有ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因442t2为ab的最大值为2，所以＝2，t2＝8，所以t＝8＝22. 44．(2016·鄂州一模)已知x>0，则x的最大值为________．

x＋42x14解析：因为2＝，又x＞0时，x＋x≥24x＋4x＋xx111时取等号，所以0<≤，即2的最大值为. 444x＋4x＋x1答案：

444x×x＝4，当且仅当x＝x，即x＝25．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．

解析：依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2|a|·|2b|＝22|ab|＝2100＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20. 答案：20 1．下列函数中，最小值为4的是(

) 4A．y＝x＋

x4B．y＝sin x＋(0

sin xC．y＝ex＋4ex

－D．y＝x2＋1＋2

x＋124解析：选C

∵y＝x＋x中x可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0

∴y＝sin x＋4>2 sin x4－－sin x·＝4，其最小值大于4；由于ex>0，∴y＝ex＋4ex≥2ex·4exsin x2≥22，x2＋1＝4，当且仅当ex＝2时取等号，∴其最小值为4；∵x2＋1≥1，∴y＝x2＋1＋当且仅当x＝±1时取等号，∴其最小值为22. 112．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值ab是(

) A．3

C．5

B．4

D．6 11解析：选B

由题意知：ab＝1，∴m＝b＋a＝2b，n＝a＋b＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.当且仅当a＝b＝1时取等号．

123．(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为(

) abA．2

C．22

B．2

D．4 12解析：选C

由a＋b＝ab，知a＞0，b＞0，

12所以ab＝＋≥2 ab2，即ab≥22，

aba＝b，当且仅当12a＋b＝12ab，

44即a＝2，b＝22时取“＝”，

所以ab的最小值为22. 4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平x均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费8用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(

) A．60件

C．100件

B．80件

D．120件

800解析：选B

每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是x元，每件产品的仓x800x储费用是元，则x＋≥2 88每批生产产品80件．

800x800x·＝20，当且仅当x8x＝8，即x＝80时“＝”成立，∴

5．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若正数a，b满足a＋b＝2，则A．1

C．9

解析：选B

9B．

4

D．16 14a＋1＋b＋114＋＝a＋1＋b＋1

4a＋1b＋114＋的最小值是(

) a＋1b＋1b＋14a＋1119＋＝1＋4＋≥(5＋24)＝，

44a＋1b＋14b＋14a＋115当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B. 33a＋1b＋16．(2015·广州一模)已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．

解析：因为x2＋y2－xy＝1，所以x2＋y2＝1＋xy. x＋y2所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，

即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2. 当且仅当x＝y＝1时等号成立．

所以x＋y的最大值为2. 答案：2 7．(2016·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．

x＋2y2解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，

当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，

所以log2x＋log2y的最大值为1. 答案：1 8．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝k⊗x的最小值为________．

x解析：1⊗k＝k＋1＋k＝3，即k＋k－2＝0，

∴k＝1或k＝－2(舍)，∴k＝1. ∴f(x)＝1⊗xx＋x＋11＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，

xxx1，即x＝1时等号成立．

x当且仅当x＝答案：1

3

389．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；

22x－3(2)设0

183解：(1)y＝(2x－3)＋＋

22x－32833－2x＝－2＋＋. 3－2x23当x<时，有3－2x>0，

2∴3－2x8＋≥2 23－2x3－2x8·＝4，

23－2x3－2x81当且仅当＝，即x＝－时取等号．

223－2x355于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－. 222(2)∵00，

x＋2－x∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤

2·＝2，

2当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，

∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值为2. 10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

82解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，

又x＞0，y＞0，

82则1＝x＋y≥2 828·＝，得xy≥64，

xyxy当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64. 82(2)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，

822x8y＋则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋

xyyx≥10＋2 2x8yy·x＝18. 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，

∴x＋y的最小值为18.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

3x－y－6≤0，1．(2015·河北五校联考)设x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，32＞0，b＞0)的最大值为12，则a＋b的最小值为(

) 25A．

611C．

38B．

3

D．4

若目标函数z＝ax＋by(a解析：选D

不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图az中的阴影部分所示．由z＝ax＋by得y＝－bx＋b，当z变化时，它a表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－b，在y轴上的截距为zb，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝4a9b322a＋3b3213＋6＋6＋＋12，即2a＋3b＝6，所以a＋b＝·＝≥4，当且仅当a＝，b＝baab6621时等号成立．

2．(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．

．．．

(1)求S关于x的函数关系式；

(2)求S的最大值．

9007 200－2＝－2x－解：(1)由题设，得S＝(x－8)xx＋916，x∈(8,450)．

(2)因为8

7 200所以2x＋x≥2 7 2002x×x＝240，

当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676. 故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形为区域的总面积最大，最大为676 m2.