小结教案1

人民教育出版社A版 高中数学

必修5 第三章：《不等式●小结》第一课时 教学设计

湖北省宜都市一中 周清

◆教材分析：

人民教育出版社A版《高中数学教材必修5》中第三章《不等式》是高中数学学习中的重要内容，不等关系和不等式的知识、方法和思想一直贯穿于高中数学学习的是学习的各个环节，一元二次不等式及其解法、二元一次不等式的线性规划问题都能很好的体现数形结合思想方法，基本不等式式学生在学习导数之前求最值得有效方法，本章的内容能很好的培养学生的逻辑思维能力、探究能力和创新能力。现在高中教学受应试教育的影响往往忽略或放到高三复习时，才进行小结课的教学。

◆教学目标: （一）知识技能目标

(1)

进一步理解不等关系与不等式，对不等式的性质有更深的印象。

(2) 深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构。

a＋b(3) 掌握基本不等式

≥ab(a＞0，b＞0) 的应用方法与技巧。

2(4) 站在全局的高度重新认识不等式有关的知识和解决方法

（二）数学能力目标

（1）培养学生的的逻辑思维能力和实践探究能力。

（2）培养学生思考问题、探究发现问题、解决问题的一般的思想、方法和途径即科学探索精神。

（三）情感态度目标

（1）通过认识相等和不等之间的相互转化以及数形结合思想，让学生感受到“1”的妙用的同时，开发学生的逆向思维（看起来是有简单到复杂，其实是以退为进，培养学生辩证唯物主义思想。）

（2）通过数学探究活动中，拓展学生观察、概括和抽象等能力, 培养学生严谨的思维习惯。

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（3）通过小组协作学生形式培养学生与他人合作交流的意识、能力和团队精神。

◆教学的重点、难点和研究问题

教学重点：

（1）进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式〕的概念、方法及应用。

（2）掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题。

教学难点：

三个二次的灵活运用；均值不等式解函数最值的正确运用。

◆教学对象及学情分析：高中一年级的学生虽然了解不等式知识多年，但是对不等式的理解缺乏深入和系统的研究，特别是站的高度不够。但是学生已经具备了深入和系统研究的基础，所以教师要站在更高的高度并联系生活的实际问题引导学生探究、发现、归纳、总结不等式有关的规律。高中一年级的学生的自我意识比较强，教师在教学中选择自主探究的教学形式可以培养学生的自信心，可以诱发学生的探究、创新欲望，增强学生学习数学的热情。

◆教学工具：课件

◆教学安排：共3课时,第1课时。

◆教学过程：

微课1：回归课本、建构网络

对照本章知识结构图阅读课本

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微课2 变式强化，方法提炼

【例1】若正数x、y满足6x＋5y＝36，求xy的最大值以及

的最小值．

活动：均值不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式,并让学生感受到“1”的妙用，实际上是在开发学生的逆向思维（看起来是有简单到复杂，其实是以退为进，培养学生朴素唯物主义思想）。

解：∵x、y为正数，则6x、5y也是正数，

∴6x＋5y≥6x·5y＝30xy，

当且仅当6x＝5y时，取“＝”．

2

365454∵6x＋5y＝36，

则30xy≤，

即xy≤. ∴xy的最大值为. 255

=（

）

（

）

＋ = （

）

（

）=

当且仅当6x＝5y即

时去“=”,

的最小值为

23【

变式训练】

已知＋＝2(x＞0，y＞0)，求xy和2x+3y的最小值．

xy23解法一：由x＞0，y＞0，得2＝＋≥2xy23·. xy23∴

xy≥6，当且仅当＝＝1，即x＝2，y＝3时，xy取得最小值为6. xy

2x+3y=（2x+3y）

＋

＋

（

）=

当且仅当

时等号成立，所以2x+3y的最小值为

23π23解法二：令＝2cos2θ，＝2sin2θ，θ∈(0，)，∴x＝，y＝. 2xy22cosθ2sin2θ

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∴

x·y＝66＝. 24sinθcosθsin22θ2π∵sin2θ≤1，当且仅当θ＝时等号成立，这时x＝2，y＝3. 42∴ xy的最小值是6. 233x

解法三：由＋＝2，得y＝.∴xy＝xy2x－2令x－1＝t，t＞0，x＝t＋1. ∴3x2－＝＋2t23x2－(x＞1)．

313＝(t＋＋2)≥(22t21t·＋2)＝6. t

当且仅当t＝1时等号成立，即x－1＝1，x＝2. ∴ xy有最小值6. ax【例2】不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a. x－1活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式来思考．训练学生的等价转化能力．

ax解法一：将＜1化为x－1－＋1＜0，即[(a－1)x＋1](x－1)＜0. x－1由已知，解集为{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，

∴[(1－a)x－1](x－1)＞0. ∴(1－a)x－1＜0，x＞111.于是有＝2.解得a＝. 1－a1－a2解法二：原不等式转化为[(a－1)x＋1](x－1)＜0，

即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0. 依题意，方程(1－a)x＋(a－2)x＋1＝0的两根为1和2，

11－a＝2，∴a－2a－1＝3，2

1解得a＝. 23【变式1】．已知关于x的不等式x＞ax2＋的解集是{x|2＜x＜m}，

2

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求不等式ax2－(5a＋1)x＋ma＞0的解集．

33解：x＞ax2＋ 即ax2－x＋＜0的解集是{x|2＜x＜m}，

22又(x－2)(x－m)＜2－(2＋m)x＋2m＜0. 32a1对照不等号方向及x的系数可知a＞0且

＝＝，

12＋m2m21解得a＝，m＝36. 8∴ax2－(5a＋1)x＋ma＞0 21211x－(5×＋1)x＋36×＞0 888 x＜4或x＞9. －13x＋36＞ (x－4)(x－9)＞点评：条件中的不等式含参数a，而其解集中又含有参数m，似乎有较大难度．策略之一，求出原不等式的解集，与{x|2＜x＜m}比较；策略之二，抓住解集，即写出解集为{x|2＜x＜m}的一元二次不等式，再与原不等式比较，若只求原不等式的解集，需讨论．

【变式2】．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0 解：(1)当a＝0时，原不等式化为x－2＜0，解集为{x|x＜2}．

2(2)当a＜0时，原不等式化为(x－2)(x－)＜0，这时两根的大小顺序为2a22＞，所以解集为{x|＜x＜2}．

aa2(3)当a＞0时，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，①当0＜a＜1时，两根的a22大小顺序为2＜，所以原不等式的解集为{x|x＞或x＜2}；

aa2②当a＝1时，2＝，所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}；

a

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22③当a＞1时，两根的大小顺序为2＞，解集为{x|x＞2或x＜}．

aa综上所述，不等式的解集为a＝0时，{x|x＜2}，a＝1时，{x|x≠2}，

2a＜0时，{x|＜x＜2}，

a220＜a＜1时，{x|x＞或x＜2}，a＞1时，{x|x＞2或x＜}． aa点评：本例应对字母a分类讨论，分类的原则是不重、不漏．解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性．

【变式3】．已知a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a，设不等式f(x)＞0的解集为A，又知集合B＝{x|1＜x＜3}，若A∩B≠Ø，求a的取值范围．

解:

∵a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a，∴a≠0

当a﹥0时 -2a﹤0，如图中蓝色图像

只要f(3) ﹥0，即9a-6-2a﹥0，所以

﹥

当a﹤0时，-2a﹥0如图中红色图像

只要f(1) ﹥0，即a-2-2a﹥0，所以

∴a的取值范围是

或

﹥

微课3、课堂训练，易错警示

1. 已知不等式x2+px-6<0的解集为{x|-3

2a2-10a+(12-b)>0,要使对于任意的实数a,2a2-10a+(12-b)>0恒成立,则有Δ<0恒成立,解得b<-,故实数b的取值范围为 ∞

.

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3.设x>0,求证:x+

≥.

【证明】因为x>0,所以x+>0, 所以x+

=x+

=

+

-

≥2

-=,

当且仅当x+=

,即x=时,等号成立

且向量a=(3,2),b=(x,y),则4.

若x,y满足约束条件

a·b的取值范围是

(

) A.

B.

C.

D.

的可行域是以

【解析】选A.满足约束条件

A

,B(1,1),C

为顶点的三角形区域,a·b=3x+2y的最大值、

最小值必在顶点处取得,所以当x=,y=时,a·b=3x+2y取到最小值,

当x=1,y=1时,a·b=3x+2y取到最大值5. 易错警示，规范解答

(1)求解一元二次不等式时注意讨论二次项系数是否为零,容易在解题中忽略. (3)利用基本不等式求最值时,注意对式子的整体变换,如果多次利用基本不等式则要保证每一个等号同时取到.

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设计感想

1．本课时设计体现了复习课的特点，从更高的角度对本章知识方法进行整合．复习不是简单的重复或阅读课本，把“发展为本”作为教学设计的中心，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的。

2．本课时设计重视了学生的探究活动，让学生在教师的引导下自主探究，避免了学生只当观众、听众．设计中体现把复习的机会还给学生，充分让学生在知识整合的基础上，再发展、再创造。

3．本课时设计注意了数学思想方法的教学．学生的能力最终体现在数学思想方法的应用上．在讲授数学知识的同时，更加注重数学思想方法的渗透和培养，把数学思维方法和数学知识、技能融为一体，不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力。

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