阅读与思考 海伦和秦九韶课堂实录及点评

第2讲

三角恒等变换与解三角形

高考定位

1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真

题

感

悟

C5

1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos 2＝5，BC＝1，AC＝5，则AB＝(

) A.42

B.30

C.29

D.25 2.（2018·全国Ⅲ卷）△ABC的内角A ，B ，C的对边分别为a，b，c.若△ABC 的面积为

，则C=（ ）

3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝22，求BC.

考

点

整

合

1.三角函数公式

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；

tan(α±β)＝tan α±tan β. 1∓tan αtan β(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

b(3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝a. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式

(1)正弦定理

abc在△ABC中，sin A＝sin B＝sin C＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；

a变形：a＝2Rsin A，sin A＝2R，

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. (2)余弦定理

在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；

b2＋c2－a2变形：b＋c－a＝2bccos A，cos A＝2bc. 222(3)三角形面积公式

111S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B.

热点一

三角恒等变换及应用

45【例1】

(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. 35(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值. 4sin α解

(1)因为tan α＝3，tan α＝cos α，

4所以sin α＝3cos α. 9因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝25，

7因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－25. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 5又因为cos(α＋β)＝－5，

25所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝5，

因此tan(α＋β)＝－2. 42tan α24因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－7，

1－tan2α

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan（α＋β）2＝－11. 1＋tan 2αtan（α＋β）探究提高

1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点

(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小. π22x－【训练1】

(1)(2018·广西三市联考)已知x∈(0，π)，且cos＝sinx，则2πtanx－4等于(

) 11A.3

B.－3

C.3

D.－3 1143ππ(2)若cos(2α－β)＝－14，sin(α－2β)＝7，0<β<4<α<2，则α＋β的值为________. π解析

(1)由cos2x－2＝sin2x得sin 2x＝sin2x，

又x∈(0，π)，则tan x＝2，

πtan x－11故tanx－4＝＝. 1＋tan x311π(2)因为cos(2α－β)＝－14且4<2α－β<π，

53所以sin(2α－β)＝14. 43ππ因为sin(α－2β)＝7且－4<α－2β<2，

1所以cos(α－2β)＝. 7所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) 11153431＝－14×7＋14×7＝2. π3ππ因为4<α＋β<4，所以α＋β＝3.

π答案

(1)A

(2)3

热点二

正弦定理与余弦定理

考法1

利用正(余)弦定理进行边角计算

【例2－1】

(2018·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0. (1)求B；

(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积. 解

(1)由已知及正弦定理得

(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0，

(sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0，

sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0，

又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，

12∴cos B＝－2，∵0

(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2accos B. ∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9. ∵a＋b＋c＝3＋23，∴a＋c＝23，

11333∴ac＝3，∴S△ABC＝2acsin B＝2×3×2＝4. 33【迁移探究1】

若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC＝4”，试求a＋c的值. 133解

由S△ABC＝2ac·sin B＝4，

1333∴2ac·2＝4，则ac＝3. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－ac，

所以(a＋c)2＝b2＋ac＝9＋3＝12，故a＋c＝23. 【迁移探究2】

在第(2)问中，保留条件b＝3，删去“条件△ABC的周长为3＋23”，试求△ABC面积的最大值. 解

由b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，

则9＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，

所以ac≤9(当且仅当a＝c＝3时，取等号)，

112π93故S△ABC＝2acsin B≤2×9sin3＝4，

93所以△ABC面积的最大值为4. 探究提高

1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口. 3.解决这类题目的口诀：边齐化角、角齐化边、边多用余弦、角多用正弦

【训练2】

(2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知Bsin(A＋C)＝8sin22. (1)求cos B；

(2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b. B解

(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin22，

故sin B＝4(1－cos B). 上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，

15解得cos B＝1(舍去)，cos B＝17. 158(2)由cos B＝17及B为三角形一内角，得sin B＝17，

14故S△ABC＝2acsin B＝17ac. 17又S△ABC＝2，则ac＝2. 由余弦定理及a＋c＝6得

b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) 15171＋17＝4. ＝36－2×2×所以b＝2. 考法2

应用正、余弦定理解决实际问题

【例2－2】

(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处

(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为(

) A.210(6＋2)米

C.2102米

B.1406米

D.20(6－2)米

解析

由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米). 在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，

sin∠CAHCHAC由正弦定理：＝.可得CH＝AC·＝1406(米). sin∠CAHsin∠AHCsin∠AHC答案

B 探究提高

1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. 2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 【训练3】

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

解析

由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 600BC又AB＝600 m，故由正弦定理得sin 45°＝sin 30°，

解得BC＝3002(m).

3在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×3＝1006(m). 答案

1006 热点三

与解三角形有关的创新交汇问题

【例3】

(2018·郑州质检)已知向量m＝(2sin ωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(3cos ωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

→·→的值. (2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sin B＝3sin A，求BABC解

(1)f(x)＝m·n＝23sin ωxcos ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝3sin 2ωx＋cos 2ωx＝π2sin2ωx＋6. 2π因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝2|ω|＝π.

又ω＞0，所以ω＝1. π(2)由(1)知f(x)＝2sin2x＋6. 设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c. π因为f(B)＝－2，所以2sin2B＋6＝－2，

π2π即sin2B＋6＝－1，由于0

所以b＝3a，故b＝3. 3由正弦定理，有sin A＝1，解得sin A＝2π2. sin 3ππ由于0＜A＜3，解得A＝6. π所以C＝6，所以c＝a＝3. 2π3→·→＝cacos B＝3×3×所以BABCcos 3＝－2. 探究提高

1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函3

数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解. 【训练4】

已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋23sin xcos x(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝1，求△ABC中线AD的长. 7π解

(1)f(x)＝－cos 2x＋3sin 2x＝2sin2x－6. 2π∴T＝2＝π.∴函数f(x)的最小正周期为π.

π(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－6，

π2A－∵在△ABC中f(A)＝2，∴sin＝1，

6πππ143∴2A－6＝2，∴A＝3.又cos B＝7，∴sin B＝7，

3114353∴sin C＝sin(A＋B)＝2×7＋2×7＝14，

ca5a在△ABC中，由正弦定理sin C＝sin A，得＝，

5331427∴a＝7，∴BD＝2，在△ABD中，由余弦定理得，

7112912972AD＝AB＋BD－2AB·BDcos B＝5＋2－2×5××＝，∴AD＝2742. 2222

1.对于三角函数的求值，需关注：

(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；

(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；

(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：

(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解. 3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选1择S＝2absin C来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.