阅读与思考 海伦和秦九韶优质课教学设计

海伦和秦九韶公式

河北衡水第一中学——李兰

教材分析：

《海伦和秦九韶》是人教A版2003课标版必修5第一章第二节的阅读与思考。

学情分析：

学生前几节已经学习了正弦和余弦定理，推导了已知三角形的两边及其夹角求三角形面积和基本运算的技巧，在学生眼中的数学学***多就是定义、定理、公式的学习，还有就是练习。本阅读材料可以作为一个引子可以激起学生进一步了解他们二位的兴趣，从而激发起学习数学的兴趣。 教学目标：

1.知识与能力： （1）了解“三斜求积”公式，记忆海伦公式，掌握公式推导的方法；

（2）能熟练选择、应用海伦或“三斜求积”公式计算三角形的面积。 2.过程与方法： 回顾旧知，接着问题引入，引发学生学习的兴趣，整个公式推导用类比的学习手法，学生很容易入手，在推导过程中，培养学生的计算能力以及计算技巧。

3.情感态度与价值观： 在公式的推导过程，采用小组讨论的形式进行，既培养学生的运算能力，又培养学生的团体合作精神。 通过海伦和秦九韶的人物介绍，学生可以学习他们身上勇于探索的精神。激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 教学重难点 海伦和“三斜求积”公式的推导 一、

问题引领

我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为几何.”

教师问：你能将这个转化为数学语言吗？ 找其中一个同学朗读古文并翻译！

追问：你能利用已学的知识解决这个问题吗？

11SacsinB学生回答：方法

：1、S底高

2、22

教师问：你计算出来答案了吗？好算吗？

生：没有，数太大，不好算。

教师追问：能否用上述两种方法推导直接含三角形三边的面积的公式吗？

给学生5分钟时间小组讨论，并找两个代表背板书写。

设计意图：

运用秦九韶的《数书九章》的一段记载以提问的形式导入新课。在前面我们已经学习了一段时间的解三角形的内容，在这里可以考察学生的画图能力和数学语言转化能力。同时，以古汉语导入这节课，可以激起学生学习的兴趣。我以问题的形式，引导学生思维，并提示了证明所用的方法，目标明确，层层深入，引导学生思考。

二、

探究新知

让学生自己讲解所用方法的思路和计算技巧，激发学生兴趣和自信心！

法1、勾股定理

222hxc



222haxb2222cabc

24a2

h22cx2122c2a2b2ac

S

42法2、余弦定理

教师：同学们，你们刚才做了一件了不起的事情，我们推到出来的就是八百年前著名的秦九韶公式！

三、

文化了解

下边介绍秦九韶的人物简介和历史功绩。

1247年前后，南宋著名的数学家秦九韶在所著的《数书九章》中给出了一个用三边表达三角形面积的公式——三斜求积术，秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.三斜求积术就是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之.为实：一为从隅，开平方得积.”即：

三斜求积术是《数书九章》81题中的一个，该书系统总结和发展了高次方程的数值解法和一次同余问题，被誉为“算中宝典”，其中同余理论比西方1801年著名数学家高斯早554年；而任意次方程的数值解，领先英国人霍纳572年，充分说明我国古代已具有很高的数学水平。

设计意图：让学生了解我国的数学历史，增强对我国数学文化的认同感，增强民族文化自信，其次，让学生自己通过等式变形，学会知识间的融会贯通，不仅印象深刻，更能感受数学变中之不变的美感，虽然只是剪短的介绍，留下一些空白，我更是希望学生能在课下

多去阅读和了解我国的文学文化和知识。

教师：同学们，那你们默写出秦九韶公式吗？（停顿十几秒），显然有些困难，形式上还是有些复杂。在历史上，另一个公式

，其中

Sp(p)a(p)b(p

)c我们把它叫做海伦公式，形式漂亮，便于记忆. 海伦（Heron）古希腊的数学家、测量学家和机械学家。公式出自他的代表作《度量术》，此书讨论平面图形的面积、立体图形的体积以及把图形分成比例部分。其中最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式。

教师追问：虽然海伦公式与秦九韶形式上有所不同，但他们完全等价，你能利用秦九韶公式推导出海伦公式吗？

给学生十分钟时间小组讨论，教师指导，并找同学展示结果！

四、

公式证明

除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？

提示1 ：三角形内切圆

设计意图：留下疑问，让有兴趣的同学课下交流，拓展思维！体会分享的快乐！

五、

公式应用

通过例题1，学生有三种方法，勾股定理、余弦定理和海伦公式，通过对比和展示这三种方法，让学生体会一题多解和以不变应万变的道理，更能拓宽学生的思路！

六、

七、

课后练习

拓展延伸

abcd.？

2教师问：能否将海伦公式推广到四边形，设a，b，c，d是四边形的各边长，记Sp(pa)(pb)(pc)(pd)，这里p公式不符合对称性，给出S(pa)(pb)(pc)(pd)，问学生是否所有四边形都符合？

学生有说可以又说不可以，教师肯定说不可以的学生的答案，并给出限制条件，在任意内接圆的四边形才符合，并让通学生课下讨论证明四边形面积公式的方法！

八、

课堂小结

本节学习到了秦九韶和海伦公式的推导和应用，并进一步了解到了中西文化的互通性，希望同学们能保持着探索的精神，多去研究数学的奥秘！

教学反思：

本节课我主要是引导学生跟我一起推导公式的证明，。我将课堂的大部分时间交给学生，以学生为主体，让学生自主探究、合作学习，我只是从旁引导，学生达到了我的预期，甚至在上台展示推导过程的环节中，一个同学的过程正好就是我想要的结果，另一个也做到了我想达到的步骤的预期，很顺利。本节课的亮点就是例题1的选择，在例题1的讲解过程中，学生展示了我想让他们做的勾股定理的方法，也出现了我意料的问题，对于钝角三角形的情况考虑不周全，我在讲解中也提出了这一点，先让孩子自己做再发现问题，对孩子的提升会更大，不过孩子的板书和思路都非常的清洗和简洁，这是让我觉得惊喜的地方，而学生又说出了另一个用余弦定理的方法，正好和课前复习的思路遥相呼应，而在对方法3的海伦公式的应用，学生一眼就能看出来海伦公式的巧妙之处和数学以不变应万变的思想，所以学生真的有无限可能，我们应该给孩子们一个展现自我的平台，我们只需在旁及时跟正、引导就可以了。

但是在学生讨论的过程中，我也发现了一部分同学有思路，由于计算问题并没有及时得出正确结论，所以在今后的教学中，我将继续关注这一问题，通过例题板书、计算技巧的教授、限时训练等手段，争取能够有效地提高学生的计算能力。

在本节课中，我也发现自己得一个问题，由于例题1的讲解，导致后边练习时间稍微有些紧张，所以课堂授课前边步调可以稍微紧凑些，让学生讨论的时间上平时要注意如何拿捏。还有平时要多学习如何表扬学生，不至于总是一两句非常好之类的，要表扬到学生心里去。最后就是自己的语言，太柔和了，要抑扬顿挫，铿锵有力，对于我国文化的介绍要自信满满，才能传达给学生该有的数学和文化自信！