*8 三元一次方程组板书设计

第五章

二元一次方程组

8．三元一次方程组

彭州市红岩镇九年制学校

廖

佳

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生已熟练的掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用，认识了二元一次方程组的模型，并应用它们解决许多现实和有趣的问题，具备了用消元法解方程组的基本技能；学生活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教科书基于学生已熟练的掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用的基础之上，提出了本课的具体学习任务：了解三元一次方程组的概念，会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决。作为选学内容使有较好数学基础，对数学知识感兴趣的同学能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。

为此，本节课的教学目标是：

①通过对二元一次方程组的类比学习，了解三元一次方程组的概念，会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决；

②在解方程组的过程中体会其基本思想就是“消元”.无论是解二元一次方程组、还是三元一次方程组，推广到四元、五元、多元一次方程组，基本策略都是化多为少、逐一解决，具体措施都是“代入”或“加减”，以实现“消元”，转化为一元一次方程，从而得解；

③让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想；感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好习惯. 三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：第一环节，温故知新，导入新课；第二环节，类

- 1 -

比学习，探究新知；第三环节，理解巩固；第四环节，课堂小结；第五环节，布置作业．

第一环节：温故知新，导入新课

内容：

1、含有

个未知数，并且所含未知数的项的次数都是

的方程叫做二元一次方程。

2、共含有

个未知数的两个

方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

3、二元一次方程组中各个方程的

，叫做这个二元一次方程组的解。

4、解二元一次方程组的基本思路是：

，即把“

”化为“

”。

5、消元的基本方法有：

和

。

第二环节：类比学习，探究新知

活动一：

教师提问：1、你们能类比二元一次方程的定义得到三元一次方程的定义吗？什么是三元一次方程？

预测学生回答：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程（linear equation with three unknowns）. 练习：

下面方程是三元一次方程的是（

）

231xyz124xy3z7y7z046x4y30x

教师提问：2、什么是三元一次方程组呢？

预测学生回答：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组（system of linear equations with three unknowns）

关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系, 练习：

- 2 -

下面的方程组中，是三元一次方程组的是（

）

xyz5xyz9xyz10xy4B.4x7yz0C.2y3zx7D.2x4y4z28A.2x4zw0x2y2x9y21x7y19

教师提问：3、什么是三元一次方程组的解呢？

预测学生回答：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.

目的：通过第1个活动，类比学习三元一次方程组的相关概念。

活动二：

内容：引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法（代入消元、加减消元），尝试对

xyz9决问题1.

步骤（1）选取一种方法解此三元一次方程组，由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达. 步骤（2）在学生独立选择方法解决的基础上，引导学生进行比较：在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同？解上面的方程组时，你能先消去未知数y（或z），从而得到方程组的解吗？

（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点）

1.三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行；

2.用代入消元法：由于方程组③式的特点，可将③式分别代入①②式，消去x，从而转化为关于y，z的二元一次方程组的求解；

3.用加减消元法：由于③式中没有含z，可以将①，②式联立相加，消掉z，从而得到关于x，

y的二元一次方程组的求解；

4.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现三元二元一元的转化.

- 3 -

2x4y4z28x2y进行消元，从而解

在消元过程中，消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也可，但如果选择合适，可提高计算的效率.

目的：结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路——消元，并找出相应的消元方法.

教学要求与效果：

（1）教师板书用代入法消元的求解过程，强调解题的格式.求解完后引导学生总结三元一次方程组的求解思路：三元二元一元，关键在于消元；

（2）引导学生类比一元二次方程组加减消元法对方程组进行消元. 活动三：

消元的抉择：代入还是加减

y2x7xyz1115x3y2z22xyz53x4z4xyz1教学要求与效果：

（1）通过对（1）（2）的对比，引导学生总结出消元的具体做法是：①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时，如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个. （2）在前面例题和练习的基础上，对本课解过的三个方程组进行比较，谈谈解决的方法.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现三元二元一元的转化.在消元过程中，消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也可，但如果选择合适，可提高计算的效率. 具体做法是：①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时，如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个.③用加减消元时，如果方程组中三个方程均含有三个未知数，通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组.

第三环节：理解巩固

内容：1、解方程组



a



b



c

0

4a2bc025a5bc60- 4 -

2yaxbxc的值依次为1,4,0.求当x2时，y的值.

x1,1,32、当时，目的：第1题中的方程组的三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组，先让学生自行求解，使其进一步理解三元一次方程组的求解方法，培养计算能力. 第2题运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容。为九年级学习用待定系数法求二次函数的解析式做铺垫。

教学要求与效果：放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想. 第四环节：课堂小结

内容：

（1）三元一次方程组的概念；

（2）三元一次方程组的解法；

三元

一次方程组

消元

二元

一次方程组

消元

一元

一次方程

注意选好要消的“元”，选好要消的“法”：代入消元、加减消元；

(3)谈谈求解多元一次方程组的思路，提炼化归的思想. 目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识. 教学要求与效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识，教师视其情况，可以选择展示一些前面小节中用过问题情境和实际问题对学生的总结从知识、方法和思想层面去总结和提高，让学生体会到数学与生活的联系，激发学生的学习热情．

第五环节：布置作业；

内容：

练习册

- 5 -

目的：巩固新知。

四、教学设计反思

1.本节课的内容属于选修学习的内容，主要突出对数学兴趣浓厚、学有余力的同学进一步探究和拓展使用，在数学方法和思想方面需重点引导，通过引导，使学生明白解多元方程组的一般方法和思想，理解巩固环节需多注意多种解题方法的引导，并且比较各种解题方法之间的优劣，总结出解多元方程的基本方法. 2.作为选修课，在内容上要让学生理解三元一次方程组概念的同时，要让学生充分理解代入消元法和加减法解方程的优点和缺点，有关这一方面的题目要让学生充分讨论、交流、合作，其理解才会深刻．

- 6 -