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特殊的平行四边形回顾与思考（一）

一、知识要点归纳

知识点一

矩形的性质与判定

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做_______，也就是长方形．

2．性质

(1)具有平行四边形的所有性质．

(2)矩形的四个角都是________．

(3)矩形的对角线________．

【注意】①矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形；②由矩形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

3．判定

(1)定义法：有一个角是________的平行四边形是矩形．

(2)__________相等的平行四边形是矩形．

(3)有__________是直角的四边形是矩形．

4．矩形的面积S＝______.(a，b分别表示矩形的长和宽) 知识点二

菱形的性质与判定

1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

菱形必须满足两个条件：(1)是平行四边形；(2)有一组邻边相等．

2．性质

(1)具有平行四边形的所有性质．

(2)菱形的四条边都________．

(3)菱形的两条对角线互相________，并且每一条对角线平分一组对角．

菱形面积有两种计算方法：一是底×高；二是两条对角线的长乘积的一半．

3．判定

(1)定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

(3)四条边相等的四边形是菱形．

【注意】菱形是一种特殊的平行四边形．特殊之处在于它有一组邻边相等，但切记这个四边形首先应是平行四边形，然后才能是菱形．

4．菱形面积的计算方法

(1)S菱形＝a·h(a为边长，h为菱形的高)．

1(2)S菱形＝m·n(m、n为菱形的对角线长)．

2知识点三

正方形的性质与判定

1．定义：既是矩形又是菱形的四边形叫做正方形．

正方形常见的定义还有：(1)有一组邻边相等的________叫做正方形；(2)有一个角是直角的________叫做正方形．

2．性质：正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质．

(1)边：四边相等、邻边垂直、对边平行且相等．

(2)角：四个角都是直角．

(3)对角线：____________________；每一条对角线平分一组对角．

(4)正方形一条对角线上任意一点到另一条对角线两端的距离相等．

3．判定：判定一个四边形为正方形主要根据定义，其一般顺序为：

(1)有一组________相等，并且有一个角是________的平行四边形是正方形．

(2)有一组邻边相等的________是正方形．

(3)有一个角是直角的________是正方形．

(4)_________相等且互相垂直的平行四边形是正方形．

4．正方形的面积：S＝______(a表示正方形的边长)．

【注意】正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间的关系如下图所示：

三年中考讲练

矩形的性质与判定

【例1】

(2015·北京)在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB 【思路点拨】

本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质．(1)根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；(2)根据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF＝∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．

【解答】

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．

∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．

∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，

∴四边形BFDE是矩形；

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，∴∠DFA＝∠FAB．

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

BC＝FC2＋FB2＝32＋42＝5，

∴AD＝BC＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，

∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB．

菱形的性质与判定

【例2】

(2014·陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(

)

1224A．4

B． C． D．5 55【思路点拨】

本题主要考查了菱形的性质和勾股定理. 连接BD，根据菱形的性质可1得AC⊥BD，AO＝AC，然后根据勾股定理计算出BO的长，再算出菱形的面积，最后再根据21面积公式BC·AE＝AC·BD可得答案．

2【解答】

连接BD，交AC于O点，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，

1∴AC⊥BD，AO＝AC，BD＝2BO，

2∴∠AOB＝90°，

∵AC＝6，∴AO＝3，

∴BO＝5－3＝4，∴DB＝8，

11∴菱形ABCD的面积是×AC·DB＝×6×8＝24，

2224∴BC·AE＝24，AE＝. 5正方形的性质与判定

【例3】

(2015·陕西)在▱ABCD中，AB＝10，BC＝14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，AE的长为(

) A． 7

B． 4或10 C． 5或9 D． 6或8 【思路点拨】

本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、正方形的性质．设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE＝14－x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．

【解答】

如图，设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE＝14－x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2＋(14－x)2＝102，解得x1＝6，x2＝8.故AE的长为6或8 22.