阅读与思考 生活中的反比例关系教学设计方案

《26.2实际问题与反比例函数》

教学模式介绍：

数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体。核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展。教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展。

设计思路说明：

“实际问题与反比例函数”是在学习了一次函数，二次函数的有关内容以及反比例函数概念，反比例函数的图像和性质的基础上的进一步研究。这节课从复习旧知入手，类比一次函数与二次函数的学习过程，即从研究函数的概念出发，到画函数图像，探究得出函数性质，最后运用函数的概念和性质解决简单的实际问题，学生进一步熟悉函数学习的基本过程和方法。通过探究学习例1，建立解决问题的反比例函数模型，然后应用反比例函数的概念、性质进行解决，初步培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力。在例1的基础上，探究实际运输过程中存在的反比例函数问题，进一步培养学生建立反比例函数模型的能力，从而发展学生的数学核心素养。

学生虽然已经学过反比例函数的概念、性质，但是从实际问题中抽象反比例函数时，可能对比例系数理解不透、对两个变量的反比例函数关系把握不准，因此在建立函数关系时，要仔细分析实际问题，准确抽象出常量和变量，理解变量之间的关系，确定两个变量的积是一个常量。同时，在分析问题的过程中，要注意变量在实际问题中的取值范围。

教材分析

本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准2011版》中的“数与代数”领域，在已

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经学***面直角坐标系、一次函数、二次函数的基础上，通过这一节课的学习使学生运用反比例函数的概念、性质分析和解决简单的实际问题：例1和例2。本课内容是学习反比例函数概念和性质后的巩固和提升，体现数学的应用价值。

教材通过研究修建圆柱形煤气储存室和卸载货物两个实际问题，将蕴含在其中的两个成反比例关系的变量抽象出来，构建反比例函数模型，运用反比例函数的概念和性质进行分析，深化对反比例函数的认识，提高运用反比例函数知识解决实际问题的能力。通过解决问题，进一步认识反比例函数的性质，进一步感受数学与现实世界的联系。

教学目标

（1）运用反比例函数的知识解决实际问题。

（2）经历“实际问题－建立模型－拓展应用”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力。

（3）经历运用反比例函数解决实际问题过程，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识。

（4）在解决实际问题的过程中，发展“数学抽象”、“数学建模”的数学核心素养。

重点难点

教学重点：运用反比例函数的概念、性质分析和解决一些简单的实际问题。

教学难点：抽象得出实际问题中变量间的反比例函数关系。

课前准备: 多媒体课件，实物投影，几何画板。

教学过程：

1．复习提问，引入新课

（1）我们学习了反比例函数的哪些内容？

（2）前面已经学习了一次函数、二次函数，类比前面的学习过程，我们继续探究什么？基本方法有哪些？

（3）思考并完成下列问题：

①京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为_____________。

②完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）

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与人数x（人）之间的函数关系式_____________ 。

③某住宅小区要种植一个面积为1000的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化而变化_____________ 。

师生活动：教师提出问题，学生思考、回答。教师引导学生复习研究一次函数、二次函数的过程和方法，重点关注学生对本节课的学习对象是否清楚，基本方法是否了解。学生独立解答，进一步熟悉函数学习的基本过程和方法。

设计意图：第（1）问回忆复习反比例函数的概念、图像和性质，为本节课应用前面的知识点进一步学习做好准备。第（2）问进一步熟悉函数学习的基本过程和方法，不仅要教会学生知识，更重要的是要教会学生思考问题的方法。第（3）问对于每个小题，教师都提出两个问题：①如何求路程/总报酬/矩形面积？②问题中包含哪些量？哪些是常量？哪些是变量？谁是谁的函数？写出关系式。本课的难点是抽象出实际问题中变量间的反比例函数关系，学生识题，独立思考，寻找解决问题的方法，教师通过上述问题引导学生观察思考，逐步分析，最后通过建立反比例函数模型解决问题。为后面内容的学习做好铺垫，更有利于突破本节课难点。

2.

创设情境，探究学习

例1：市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的

圆柱形煤气储存室。

(1) 储存室的底面积S(单位:㎡)与其深度d(单位:m)有

怎样的函数关系? (2)

公司决定把储存室的底面积S定为500㎡

,施工队施工时应该向下掘进多深? (3)

当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?

104解: (1) S(d＞0, S＞0) d104

(2) 当S＝500, 则500, d＝20m.

d

答: 施工队施工时应向下掘进20m。

3

104

(3) 当d＝15, S≈666.67㎡

15

答: 储存室的底面积应改为666.67㎡才能满足需要。

例2：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间。

（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨／天）与卸货时间t

（单位：天）之间有怎样的关系？

（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸完，那么平均每天至少要卸多少吨货物？

分析：（1）根据装货速度×装货时间＝货物的总量，可以求出轮船装载货物的的总量；

（2）再根据卸货速度＝货物总量÷卸货时间，得到ｖ与ｔ的函数式。

解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有

k=30×8=240 

（t＞0）故v与t的函数式为

v

；

240240t24048把t=5代入

v



，得

v5t从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，平均每天卸载48吨。若货物在不超过5天内卸完，平均每天至少卸货48吨。

师生活动：教师提出问题，学生独立思考，寻找解决问题的方法。教师应重点关注学生能否建立问题情境，能否根据反比例函数的图象及性质，想到加大圆柱形煤气储存室的底面积。

例2由学生小组合作、交流共同完成。教师重点关注学生是否对题意有充分的理解，参与讨论的程度、热情是否高；学生是否能够认真进行探究活动，能否通过自己的努力克服困难，获得解决问题的方法。鼓励学生多角度出发，对问题提出各自的见解，在学生讨论的同时，教师参与到学生讨论中，寻求解决问题的方法。对解题确有困难的学生，适当进行个别引导。

设计意图：学生通过对圆柱形煤气储存室底面积S（单位：m）与其深度d（单位：2m）之间的函数关系的研究，认识到体积一定，当挖掘深度d发生改变时，圆柱底面积S随之改变。首先建立解决问题的反比例函数模型，然后应用反比例函数的概念、性质进行解决，初步培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力。在例1的基础上，探究实际运输中存在的反比例函数问题，进一步培养学生建立反比例函数模型的能力。例2的第（3）小问是教

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材中没有的，是补充的部分，当条件改变，函数关系也发生改变时，仍然能够发现反比例函数关系，应用反比例函数的概念、性质进行解决，发展学生分析、解决问题的能力。

探究讨论使学生对反比例函数的应用有了初步的了解，培养了学生解决实际问题的能力，同时渗透了数学建模思想，提高了同学们的转化意识。

进一步规范学生的解题过程，使学生养成良好的解题习惯。

让学生在与他人交流的过程中获得解决问题的方法，在解决问题的过程中，形成自己解决问题的基本方式，培养学生的创新精神。

在学生展示自己解答问题方式的同时，鼓励学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法，培养学生发现问题的意识与独立解决问题的能力。

3.

实践运用，解决问题

（1）如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗。

①漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?

②如果漏斗口的面积为100平方厘米，则漏斗的深为多少? （2）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度6小时到达目的地。

①当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？

②如果该司机必须在4个小时之内回到甲地，则返程时的速度不能低于多少？（要求用两种方法解答第②问）

师生活动：学生完成练习时，教师要关注他们能否找出题目中的变量间的关系，正确列出反比例函数解析式，并能利用解析式来解决其它的问题。

设计意图：巩固本节课学习内容。在活动中，教师还要注意锻炼学生的表达能力和严谨的思维方式，让所有的学生都能在数学学习中获得成功感，树立自信心，增强克服困难的毅力和勇气。

4.

反思小结，升华思想

通过本节课的学习，你有哪些收获？

师生活动：教师与学生一起回顾本课所学主要内容。

设计意图：学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验和失败的感受，积累学习经验，进一步巩固和提高应用反比例函数解决实际问题的能力，巩固对反比例函数的性质的认识。

教学反思：

1.类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数

函数是初中数学重要的概念，对函数的研究方法一脉相承。它们都是描述变化规律的数学模型，虽然变化规律各不相同，但都概括得出函数解析式；根据解析式，由自变量的值求

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出相应的函数值，通过列表表示这些自变量的值和函数值；然后把这些值对应的点在坐标系中表示出来；最后用平滑的曲线把这些点顺次连接起来，得到函数的图象。由它们的图象，同时结合其解析式，我们得到其图象特征和性质：图象的形状、位置和变化规律等。这是学习每类具体函数时采用的相同研究方法，反比例函数也不例外。进一步熟悉函数学习的基本过程和方法，不仅要教会学生知识，更重要的是要教会学生思考问题的方法。

2.加强与现实生活的联系，发展学生“数学建模”素养

数学既是科学技术语言，又是科学技术的工具。反比例函数不仅在现实世界中具有众多原型，而且在现实世界中具有广泛的应用。让学生进一步感受数学来源于生活，并反过来为生活服务。探究讨论使学生对反比例函数的应用有了初步的了解，培养了学生解决实际问题的能力，同时渗透了数学建模思想，提高了学生们的转化意识，发展学生的“数学建模”素养。

3.注重信息技术的应用，发展学生“直观想象”素养

运用多媒体信息技术，通过动态的演示，让学生观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，从而让学生从函数图象角度出发，理解“不超过5天卸毕，平均每天至少要卸载多少吨”，不仅在课堂教学中极大的调动了学生的积极性，而且发展了学生的“直观想象”核心素养。

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