复习参考题优秀公开课教案

《一元二次不等式及其解法》

教

学

设

计

息县第一高级中学 许艳

课题: §3.2一元二次不等式及其解法

【教学目标】

1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想. 【教学重点】

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和一元二次不等式的解法. 【教学难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 【教学过程】

1.联系旧知，构建新知. 复习：一元二次方程和二次函数. （1）一元二次方程ax2bxc0a0的解法：

bb24ac*公式法：x. 2a*因式分解法：xx1xx20. （2）二次函数yax2bxca0. *图象：一条抛物线. a0 开口向上,*开口方向： 

a0 开口向下.*对称轴： xb. 2ab4acb2*顶点坐标： ,. 2a4a2.创设情境，提出问题. 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

首先认识植树节的图标，然后提出问题：今年的植树节我校高一年级的同学去植树

1

时遇到一个这样的问题，我们准备的树苗恰好能够栽满面积为40平方米的空地，而要绿化的空地是一个长比宽多6 米的矩形，那么，矩形绿化带长为多少时，准备的树苗有剩余？

分析：设绿化带长为x m. 则依题意有xx640. 整理得x26x400. 这个不等式怎么解呢？

3.合作交流，探究新知

（1）一元二次不等式的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. （2）一元二次不等式的一般形式：ax2bxc0或ax2bxc0a0. 会发现一元二次不等式的左边与二次函数和一元二次方程很相似，提出疑问难道这三者之间有什么关系？

（3）探究一元二次不等式x2x20的解. 容易知道：一元二次方程x2x20的有两个实数根：x11或x22. 二次函数yx2x2与x轴有两个交点：1,0和2,0. 思考1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系？

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标. 思考2：观察图象，当x为何值时，y0；

当x为何值时，y0；

当x为何值时，y0. 观察函数图象，可知：

当x1或x2时，函数图象位于x轴上，此时y0，即x2x20；

当

x1或x2时，函数图象位于x轴上方，此时，y0,即x2x20；

y -1 o 2 x

2

当1x2时，函数图象位于x轴下方，此时，y0,即x2x20；

所以，不等式x2x20的解集是x1x2. （4）探究一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解法. 组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑：

抛物线yax2bxc与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax2bxc=0的根的情况，而一元二次方程根的情况是由判别式b24ac三种取值情况(0，0，0）来确定. 设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生合作讨论完成表格)。

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

bx1x22a

ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

无实根

xxx或xx

12bxx2a

 

R xx

1xx2



4.数学运用，深化认知. 例1.求不等式2x23x20的解集. 解：因为34220.

2

3

所以方程2x23x20的解是

1x1,x22.

21所以，原不等式的解集是xx或x2.

2（注：先求方程的根，然后想像对应的二次函数的图象，根据图象写解集）

变式为：求不等式2x23x20的解集. 1不等式的解集是xx2.

2例2．解不等式x22x30. 解：整理，得x22x30. 因为0,方程x22x30无实数解，

2x2x30的解集是. 所以不等式从而，原不等式的解集是. 解决问题：什么情况下准备的树苗会有剩余？

x26x400

解：因为641400.

所以方程x26x400的解是

2x14,x210.

所以，不等式x26x400的解集是x4x10.

由于x是矩形空地的长，所以当0x10时，准备的树苗有剩余. 5.练习检测，巩固收获. （1）求下列一元二次不等式的解集：

x25x14. x24x6.

4

（2）函数yx2x2的定义域是

A．xx2或x1.

C．x2x1.

6.归纳小结，强化思想.

（1）解一元二次不等式的步骤：

(

) B．x2x1.

D．.

第一步：将一元二次不等式化为标准形式ax2bxc0或ax2bxc0a0；

第二步：判断所对应二次方程的根的情况；

第三步：若有根，则求出其根；

第四步：根据一元二次方程的根，画出二次函数的图象；

第五步：结合图象，写出不等式的解集. 概括为：一化→二判→三求根→四画图→五写解集

（2）三个二次问题都可以通过图形实现转换，运用的是数形结合的思想. 7.布置作业，拓展延伸. 必做题：课本第80页习题A组 1，2. 选做题：（1）若关于m的一元二次方程x数根，求m的取值范围.

2（2）已知不等式xaxb0的解集为x2x3，求a,b的值. 2(m1)xm0有两个不相等的实

【板书设计】

§3.2一元二次不等式及其解法

1.定义

2.解法

一化正→二算Δ→三求根→四写解集.

3.例题

（1） （2）

4.练习

5