小结教学设计思路

《基本不等式：

abab》第21课时教学设计

宁波市镇海中学

李亚章

教学分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学5必修本（A版）》的第三章3.4“基本不等式：abab”（第1课时）。不等关系是普遍存在的，而基本不等式是其中的一2个重要且应用广泛的不等关系。运用基本不等式可以证明不等式，也可以求解一些最值问题。第1课时的教学主要是通过几何中的不等关系导出基本不等式，然后从代数角度对其进行证明，并运用基本不等式证明其它的一些较简单的不等式。

通过此前的学习，学生已体会到现实世界和日常生活中的不等关系是普遍存在的，并能理解不等式的基本性质。在此基础上，我们要让学生通过几何图形中比较直观的不等关系抽象出基本不等式，并探讨该不等式的证明。由于学生尚未形成不等式证明的一般思路，因此在证明基本不等式以及用基本不等式证明其它不等式的时候都存在一些困难。实际上，不等式的证明就是用一个已知的不等关系去得到一个新的不等关系。关键在于，我们如何运用不等式的性质将要证的不等关系转化为已知的不等关系。

1、教学目标

1.1 使学生了解基本不等式的几何背景，通过对赵爽“弦图”和国际数学家大会的介绍，激

发学生的民族自豪感以及学习数学的兴趣；能够从代数角度证明基本不等式。

1.2 能够运用类比的方法，从几何中的不等关系得出与基本不等式相近的几个不等式，并探讨其代数证明。（这是针对实验班提出的较高要求）

1.3 初步了解证明不等式的常用方法，并运用这些方法结合基本不等式证明一些简单的不等式；在此过程中，使学生分析问题的能力和逻辑思维能力得到进一步的提高。

2、教学重、难点

重点：了解基本不等式的几何背景，理解基本不等式的内容并作简单应用。

难点：基本不等式的证明。

教学设计

一、介绍背景，创设情景

（开头语）通过前面几节课的学习，我们已经理解了不等式的概念及性质，并掌握了一元二次不等式和二元一次不等式组这两类特殊的不等关系。今天这节课，我们将学习一个新的不等关系。

请大家一起看下面的一段资料。

（幻灯片展示，同时教师朗读如下内容）

国际数学家大会由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议。

1932年第九届国际数学家大会决定设立菲尔茨奖，并在每届大会的开幕式上颁奖，用以奖励取得杰出成就的40岁以下的数学家。菲尔茨奖被认为是国际数学界的诺贝尔奖，是数学家的最高荣誉。1982年，美籍华人数学家丘成桐教授荣获菲尔茨奖，成为获此殊荣的第一位华人。

第24届国际数学家大会于2002年8月20日至28日在北京举行。选择在北京举办此次第

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大会，是对中国古代数学和现代数学的肯定。中国数学在公元前3世纪到公元14世纪长达1700年的时段里处于世界领先地位，现代又出现了诸如丘成桐、华罗庚等大数学家。

该届大会的会标如下左图，该图体现了中国数学的特色，其设计源自我国汉朝数学家赵爽的“弦图”，如下面的右图。

思考1：赵爽用“弦图”证明了著名的勾股定理（西方称为“毕达哥拉斯定理”），那么如何完成这个证明呢？

学生通过对大的正方形的面积进行划分，从两个角度计算大正方形的面积即可得出：

c24ab(ab)2a2b2. 2教师通过幻灯片展示赵爽的原始做法，同时对学生的证明过程予以充分的肯定。

东汉末年（约公元222年）赵爽为《周髀算经》作注：“勾股各ac自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”并给出了证明方法，b“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”

二、不等式a2+b2  2ab (a, b

 R) 思考2：在上面的弦图中，以弦c为边长的正方形的面积与四个红色直角三角形的面积和有怎样的不等关系？

在思考1的基础上，学生可以很快得出大正方形的面积不小于四个小直角三角形的面积和。但是可能会有部分学生忽略等号成立的情形，故可以运用几何画板软件进行动态演示，以加深理解。

在上述讨论的基础上，请学生给出思考2中所蕴含的代数不等式：a2 + b2

 2ab. 思考3：我们由“弦图”所得到的不等式a2 + b2

 2ab能否推广到对任意实数a，b都成立呢？

在学生证明这个不等式之后，教师应强调等号成立当且仅当a = b，并详细阐释“当且仅当”的含义. 另外，可适时地对证明不等式的基本方法进行小结：运用不等式的性质，将要证的不等式转化为已知的不等式。

接下来，引导学生思考：在不等式a2 + b2

 2ab中，若取a >

0, b > 0, 并以a,别代替a, b可以得到怎样的不等式？

b分三、不等式abab(a0,b0)

2ab叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫2(教师在思考3的基础上小结)通常我们把第

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做正数a，b的几何平均数。因此，不等式abab(a0,b0)可用文字表述为：

2ab(a0,b0)？

2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考4：能否利用不等式的性质，从代数角度证明不等式ab教师强调：上述不等式中的等号成立，当且仅当a = b. 之前，教师已为学生小结了证明不等式的基本思路，其关键在于“转化”：将欲证的不等式转化为已知的不等式。在学生对思考4的讨论过程中，教师可适时地点拨“转化”的基本途径：

途径一：要证的不等式



不等式1 

不等式2 

…

…



一个显然的不等式 途径二：要证的不等式



不等式1 

不等式2 

…

…



一个显然的不等式

途径三：一个显然的不等式



不等式1 

不等式2 

…

…



要证的不等式

其中这三条途径分别被称为“等价转换法”、“分析法”、“综合法”。

思考5：如右图，AB是圆的直径，点C是ABD上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE,连AD、BD. 请结合这个图形，对基本不等式作出几何上的解释。 如图，连OD，则OD的长度为ab；由CD22AaOCbB＝AC · CB知，CD＝ab.比较线段OD与CD的长度可得，CD  OD，即知abab(a0,b0).

2E四、基本不等式abab(a0,b0)的简单应用

2ab（教师语）不等式ab(a0,b0)是一个基本不等式，运用这个不等式可以2证明其它的一些不等式，也可以求解一些最值问题。下面，我们将举例说明如何运用基本不等式证明不等式，而把求最值的问题留到下一节课讨论。

由ababab2变形可得到ab2ab以及ab(运用这两个变形形式可分别)，22估计a + b的下界和ab的上界。

（一）运用ab2ab(a0,b0)估计ab的下界

44，并说明等号何时成立. a11(Ⅱ) 已知a,b0且ab1，求证：(1)(1)4. ab4分析：（Ⅰ）因为a > 0，所以0，根据基本不等式知

a例1、（Ⅰ）已知a > 0，求证：aa等号成立当且仅当a442a4

aa4，即a = 2. a第

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(Ⅱ)因为a,b0，所以110,0，根据基本不等式知

ab111112,12

aabb又由ab1知 11

ab1114. 于是 (1)(1)4abab练习：已知a,b,c,d0，求证：118. abcd(ab)(cd)分析：依题意，110,0，根据基本不等式得

abcd111228. 2abcdabcdabcd(ab)(cd)abcd()()22ab2（二）运用ab()(a0,b0)估计ab的上界

211例2、已知a,b0且ab1，求证：(1)(1)9. ab分析：此题与例（1Ⅱ）的条件有着明显的区别。在例2中，不能再用111112,12aabb来估计下界，这是因为两处等号都不能成立。因此需要探寻其它的证题方法。

11(a1)(b1)abab1(1)(1)ababab

22119.ab2ab()2五、课堂小结

这一节课我们首先借助“弦图”得到了一个不等式a2+b2  2ab (a, b

 R)，其等号成立当且仅当a = b. 在此基础上，我们进一步得到了基本不等式

ab(ab2)(a0,b0)

2其等号成立当且仅当a = b. 这些不等式不仅可以用于证明不等式，还可用于求函数的最值，这一点将在下一节课的学习中得以体现。

六、课外拓展

（根据授课班级的实际情况也可引导学生在课内完成）

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如右图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作CD垂直于AB，交圆于点D，过O作OF

垂直于AB，交圆于点F，过C作CE垂直OD于点E，连CF、CE。试比较线段DE、CD、OD、CF的长度的FD大小，并给出相应的代数不等式。

分析：易得DE  CD  OD  CF.由CD2＝DE· DO可知DE＝ab2，由CF2＝CO 2+OF 2可知

ab112abEAaOCbBab2ab2a2b2CF＝(.又已知CD＝)()222ab，OD＝ab，于是得到不等式链： 2aba2b2ab1122ab2(a0,b0)

证明从略。

七、作业布置（略）

注：授课时间 2009年12月25日

授课地点 慈溪中学

授课班级 高一（1）班（实验班）

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