阅读与思考 九连环教学设计案例

《直线与平面垂直的判定》教学设计

淮南二十六中 尹晓微

【教学目标】

1.知识与技能：通过对图片的观察，从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

2过程与方法：结合图形让学生通过直观感知，操作确认，从形象的图像转化成抽象化的数学语言，并能够自己总结、表述出直线与平面垂直的判定定理；并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

3情感态度和价值观：培养学生学生的探索精神和空间观念。

【教学重点、难点】

1.教学重点：概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

2.教学难点：概括出直线与平面垂直的判定定理及运用。

【教学方法】

启发式教学

【教学用具】

三角板，多媒体vod

【教学过程设计】

一、引入线面垂直定义

师：同学们，我们先观察一下以下的图片，说出旗杆与地面、显示器的侧边与桌面有什么位置关系？

师：请同学们再看看门的边缘与地面是什么关系呢？

师：经过我们的观察，我们发现旗杆与地面、显示器的侧边与桌面，门的边缘与地面都垂直的关系，不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物，我们先观察第1个图。将旗杆看成直线l

，将地面看成平面，今天就来研究直线l与平面垂直的有关知识。

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，

我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α. 直线 l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

用符号语言表示为：

m是平面内任一直线llm

l

α

P 设计意图：从实际出发，让学生感知直线与平面垂直的关系。再通过把地面看做平面α，旗杆看做l，有具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换.

师：现在我们已经学习了，直线与平面垂直的性质，那我们来看看以下的说法正确吗？

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

②直线与平面内的无数条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？

③若a⊥α,bα，则a⊥b。

设计意图：通过练习强化对概念的理解，突出概念里重要元素。③在考察对垂直概念的理解以外还把具体的文字语言改为用数学语言表示，再次培养学生转化数学语言，把具体问题抽象化。

二、引入线面垂直判定定理

师：我们已经掌握了直线与平面垂直的概念了，那我们能否用它来判断直线与平面垂直呢？我们再看一下它的概念（展示概念）我们注意到，我们要证明直线和平面垂直就是要证明这直线和平面内任意一条直线都垂直。那问题来了，平面内有无数多的直线，我们要证明每一条都垂直，那怎么证啊？现在我们就来学习一种更为简便的方法。有人说只要看着垂直那就垂直了，但是我们学数学的要讲究严密性，我们不能说看着象就认为是的。我们要给出证明，现在我们就一起探讨下吧。

探究：

（1）如果直线l与平面α内一条直线垂直，则直线l与平面α垂直？

（2）如果直线l与平面α内两条平行直线垂直，则直线l与平面α垂直？

（3）如果直线l与平面α内两条相交直线垂直，则直线l与平面α垂直？

师：我们现在拿出我之前叫你们准备好的三角形纸片吧，我们一起做个实验：

下图，过三角形的顶点，翻折纸片得到折痕AD将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）

学生在翻折过程中可以设问折痕AD与桌面上的一条直线垂直，是否足以保证AD垂直桌面？由折痕ADBC翻折之后这一垂直关系是一个不变关系；即有ADCD,ADBD能得到什么

设计意图：通过操作确认，引导独立发现直线和平面垂直的条件。

让学生根据自己经验进行合情推理，获得判定定理。

多媒体演示翻折过程。

归纳直线与平面垂直的判定定理

①思考：由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即

AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？

②归纳出直线与平面垂直的判定定理。

B C D A 设计意图：吸引学生注意力，为推出重点做准备。

在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生叙述结论，教师则引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实，简要说明直线与平面垂直的判定定理。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直。

用符号语言表示为：

l m,n,mnPp llm,ln

α

m n 注：在理解直线与平面垂直的判定定理时，强调“两条”、“相交”缺一不可，并结合前面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。指出要判断一条直线与一个

平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。

三、巩固练习

例1、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有两

C

条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆B A D 脚不在同一条直线上

）C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，

那么旗杆就和地面垂直.为什么？

师：我们先把这转化为几何图形。要旗杆与地面垂直，我们可以把他看做要一条直线与平面垂直，我们已经学过，直线与平面垂直的判定定理了，我们再回顾下。（展示定理）由定理可以知道，我们要判断直线与平面垂直，就是要先证明直线与平面内两相交直线垂直。而从题目给的条件看来，我们只能通过勾股定理判断垂直。

设计意图：把所学应用到实际例子，难点在于把实际问题转为数学问题。

解：在三角形ABC中，AB=8，BC=6，AC=10 由勾股定理易知，三角形ABC为直角三角形，AB⊥BC 同理可知AB⊥BD 因为BC与BD相交于点B 所以旗杆和底面垂直

例2、已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。

此题有一定难度，教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定

义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法。

证明：在面α内任意作两条相交直线m,n a b\n 因为a⊥α

m

所以a⊥m, a⊥n （线面垂直定义）

α

因为a∥b 所以b⊥m, b⊥n 所以b⊥α (线面垂直判定定理) 设计意图：熟练掌握判定定理，并学会转化证明，寻找中间量。学习几何证明的一些基本方法。

四、课堂小结

1.直线与平面垂直的定义

2.直线与平面垂直的判定定理（定理的关键是找到两条相交直线与已知直线垂直。）

3.数学思想是将线面问题转化为线线问题，把空间问题转化为平面问题

五、布置作业

六、板书设计

2.3.1直线与平面垂直的判定（一）

1、

直线与平面垂2、

直线与平面垂直的判定定理：

直的定义：

练习1：练习2：