小结优秀教学实录

§1．3．2二项式系数的性质

教学目标：

知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

授课类型：复习课 教学过程：

一、复习引入：

二项式系数的性质

mnm（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn）．

Cn直线rn是图象的对称轴．

2n(n1)(n2)(nk1)k1nk1Cn，

k!knk1nk1n1kk11k∴Cn相对于Cn的增减情况由决定，，

kk2n1当k时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取2k（2）增减性与最大值．∵Cn得最大值；

当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn2nn12n，Cn12n取得最大值．

（3）各二项式系数和：

1∵(1x)n1CnxrrCnxxn，

rCnn

Cn012令x1，则2nCnCnCn（4）在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

02即：CnCn13CnCnn2n1. 二、讲解范例：

例1．已知(12x)7a0a1xa2x2（1）a1a2a7x7，求：

a7； （2）a1a3a5a7； （3）|a0||a1||a7|. 77解：（1）当x1时，(12x)(12)1，展开式右边为

a0a1a2∴a0a1a2a7

a71，

当x0时，a01，∴a1a2（2）令x1，

a0a1a2a7112，

a71 ① 令x1，a0a1a2a3a4a5a6a737 ②

137①②

得：2(a1a3a5a7)13，∴

a1a3a5a7. 27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，

∴由（2）中①+②

得：2(a0a2a4a6)137，

137∴

a0a2a4a6， 2∴|a0||a1||a7|a0a1a2a3a4a5a6a7

(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)37

例2．在(2x3y)10的展开式中,求: ①二项式系数的和;

②各项系数的和;

③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;

④奇数项系数和与偶数项系数和;

⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. r分析:因为二项式系数特指组合数Cn,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式2x3y中的系数无关. 解：设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10(*), 各项系数和即为a0a1a10,奇数项系数和为a0a2a10,偶数项系数和为a1a3a5a9,x的奇次项系数和为a1a3a5a9,x的偶次项系数和a0a2a4a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. 0110①二项式系数和为C10C10C10210. ②令xy1,各项系数和为(23)10(1)101.

0210③奇数项的二项式系数和为C10C10C1029, 139偶数项的二项式系数和为C10C10C1029. ④设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10, 令xy1,得到a0a1a2a101…(1), 令x1,y1(或x1,y1)得a0a1a2a3a10510…(2) (1)+(2)得2(a0a2a10)1510, ∴奇数项的系数和为15; 210(1)-(2)得2(a1a3a9)1510, ∴偶数项的系数和为15. 210⑤x的奇次项系数和为a1a3a5a915; 210x的偶次项系数和为a0a2a4a1015. 102点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 三、课堂练习：

1．x1x1展开式中x454的系数为 ，各项系数之和为 ．

nCn(x1)n（n6）的展开式1232．多项式f(x)Cn(x1)Cn(x1)2Cn(x1)36中，x的系数为 23．若二项式(3x1n)（nN）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（

）

32x A.4 B.5 C.6 D.8 四、小结

：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用

五、课后作业：P36 习题1.3A组5. 6. 7.8

B组1. 2 16212n1．已知(a1)展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而xx5(a21)n

展开式的系数的最大的项等于54，求a的值(aR)

5

答案：a3

2007年高考题

1．（2007年江苏卷）若对于任意实数则a2的值为（B）

A．3

B．6

C．9

D．12

x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，22．（2007年湖北卷）如果3x2

的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值3x为

A.3

B.5

C.6

D.10 【答案】：B. r2nr【分析】：Tr1Cn(3x)(n2rrnrr2(nr)3rrnrr2n5r)C3(2)xC3(2)x，

nn3x）。nmin5. 2n5r0，n5r（r2,4,2【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力. 【易错点】：注意二项式定理的通项公式中项数与r的关系。

【高学科网备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。

33．（2007年江西卷）已知x展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和3x之比为64，则n等于（

C

）

Ａ．4

Ｂ．5

nnＣ．6

Ｄ．7

14．（2007年全国卷I）x2的展开式中，常数项为15，则n（

D

）

xA．3

B．4

C．5

2

D．6

815．（2007年全国卷Ⅱ）(12x)x的展开式中常数项为

42

．（用数字作答）

x512x6．（2007年天津卷）若x2的二项展开式中的系数为，则a

2

（用数字2ax作答）．

7．（2007年重庆卷）若(x61n)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（

B ）

xA10

B.20

C.30

D.120 8．（2007年安徽卷）若(2x3+1x)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于

7

.