3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教案1

人教版高中数学选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义（教案）

授课人：彭瑜 授课班级：高二（19）班 时间：2014-3-10星期一下午第七节 课型：新授课

一、

教学内容分析：

本课是高中数学选修1-2第三章《数系的扩充与复数的引入》第二节《复数代数形式的加减运算及其几何意义》，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生首次接触复数集中的运算。学生的知识基础是已经学习的复数的概念和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解释和“形化”了

复数的加减法，充分体现了复数的“数”和“形”的双重特征，揭示了复数的加减运算与平面向量的加减法具有完全等价的法则。复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材．

二、

学情分析：

高二（19）班属于普通文科班，女生比例较大，学生基础普遍比较薄弱，学习习惯较差。学生受文科思维的影响，习惯于机械记忆，习惯于老师讲，自己记，复习背，对概念、定理、公理的本质属性缺乏正确的认识，不重视思维训练，导致数学学习能力下降，心理压力增大，恶性循环。因此培养学生良好的学习习惯与严谨的逻辑思维能力相当重要。

三、

教学目标：

1、知识与技能：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义. 2、过程与方法：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程

3、情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)；理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用.

四、

教学重点难点：

1、重点：复数代数形式的加法、减法的运算法则。

2、难点：复数加减法的几何意义及其应用。

五、

教学方法：

导学案，自主学习，小组讨论，学生点评呈现.

六、

教学过程：

1. 课前准备：学生自主阅读教材P56~ P57、理解教材，并完成导学案。

2. 课题导入（知识回顾）

①复数的代数形式：zabia,bR,其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

②复数的分类

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实数 (b=0)复数z一般虚数(b0,a0)

虚数 (b0)纯虚数(b0,a0)③复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小

只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

④复数的几何意义：

复数zabia,bR

复平面内的点za,b

一一对应

一一对应

复数zabia,bR

复平面内的向量OZ=a,b

复习1：试判断下列复数14i,72i,6,i,2i,7i,在复平面中落在哪象限？

解析：14i:第一象限 72i:第四象限 6：实正半轴上 i：虚正半轴上 2i:第三象限 -7i：虚负半轴上

⑤复数的模的几何意义：向量OZ的模叫做复数zabi的模,记作|z|或|abi|.如果b0,那么zabi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值),由模的定义知: |z||abi|ra2b2(r0,rR)

复习2：求复数zlog223i的模。

解析：∵log2213711∴z3i.因此，z()232.

22223. 新课导学

我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：abba，abba，(ab)ca(bc)，(ab)ca(bc)，a(bc)abac.那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？

注意到i1，虚数单位i可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！

我们规定，复数的加、减法法则如下：

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a,b,c,d是实数）是任意两个复数，那么

(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;

(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.

即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).

注:⑴复数的减法是加法的逆运算；

(2)复数的加减法可类比多项式的加减法进行. (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i

问题1：复数的加法满足交换律、结合律吗？

①

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.

2 2

z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. ②复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i) =［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i

=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i

=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i. z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］

=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i

=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i

∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律

点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。

试试：计算

（1）(14i)+(72i)= 8+2i （2）(72i)+(14i)= 8+2i （3）[(32i)+(43i)](5i)= 4+2i （4）(32i)+[(43i)(5i)]= 4+2i 问题2：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

①

.复数加法的几何意义：

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、OZ2的坐标形式为OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，

∴OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i

②复数减法的几何意义：

复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于OZ2Z1Z，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 4. 例题讲解

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 【思路点拨】可依据复数的加法运算先将前两个复数相加，再与第三个复数相减.

解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i

【思维总结】考察复数的加减运算.复数的减法本质上可以看成是复数的加法，故本题可看

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成是三个复数相加.

例2 已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，32i，24i，试求：

（1）AO表示的复数；（2）CA表示的复数；（3）B点对应的复数. 【思路点拨】

画出图形，作出相应的向量借用向量加减法求复数．

【解】

如图所示，

→→→(1)∵AO＝－OA，∴AO所表示的复数为－3－2i. →→→(2)∵CA＝OA－OC，

→∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

→→→→→(3) ∵OB＝OA＋AB＝OA＋OC

∴B点对应的复数为

(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 【思维总结】要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点，或者利用相等向量．

5. 合作探究

（各组在4分钟内通过小组讨论完成展示）

任务

例1下的变式

例2下的变式

练1

练2

当堂检测

小组展示

第一组

第二组

第三组

第四组

第七组

小组点评

第八组

第七组

第六组

第五组

第四组

6. 学习小结

①方法技巧

1．复数加减法法则的记忆

(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．如例1. 2．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．如例2. ②失误防范

1．算式中若出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

2．复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运算．

7、课后作业: 导学案课后作业题

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