阅读与思考 九连环优质课教案

2.5

等比数列的前n项和

2.5.1

等比数列前n项和公式的推导与应用

教学重点

1.等比数列前n项和公式的推导;

2.等比数列前n项和公式的应用. 教学难点

等比数列前n项和公式的推导.

三维目标

一、知识与技能

1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；

2.探索并掌握等比数列前n项和公式；

3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；

4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想. 二、过程与方法

1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动. 三、情感态度与价值观

1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；

2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；

3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.

教学过程

导入新课

师

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？

生

知道一些，踊跃发言.

师

“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求. 师

假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？

生

各持己见.动笔，列式，计算.

生

能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+…+263=?

师

这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下. 课件展示：1+2+22+…+2 63=?

师

我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和. 现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消. 课件展示：S=1+2+22+23+…+2 63,①

2S=2+22+23+…+263+264,②

②-①得

2S-S=2 64-1. 264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. 师

国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识. 推进新课

［合作探究］

师

在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+qn=？

师

这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察. 生

观察、独立思考、合作交流、自主探究.

师

若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？

生

q+q2+…+qn+q n+1.

生

每一项就成了它后面相邻的一项.

师

对上面的问题的解决有什么帮助吗？

师

生共同探索：如果记Sn=1+q+q2+…+qn, 那么qSn=q+q2+…+qn+q n+1. 要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-qn. 师

提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值. 1qn生

如果q≠1，则有S.

1q师

当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果. 生

如果q＝1，那么Sn=n.

师

上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？

课件展示：a1+a2+a3+…+an=？

［教师精讲］

师

在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.

师

在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.

如果记Sn=a1+a2+a3+…+an, 那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq, 要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq. 师

再次提醒学生注意q的取值. 如果q≠1，则有Sna1anq. 1q师

上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：

如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q

n-1, 那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn, a1(1qn)要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1q. 如果q≠1，则有Sn. 1qn师

上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.

形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.

值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式. 师

现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？

生

独立思考、合作交流.

生

如果q＝1，Sn=na1.

师

完全正确. 如果q＝1，那么Sn=nan.正确吗？怎么解释？

生

正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.

师

对了，这就是认清了问题的本质. 师

等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：

［合作探究］

思路一：根据等比数列的定义，我们有：aa2a3a4...nq, a1a2a3an1再由合比定理，则得a2a3a4...anSaq, 即n1q,从而就有(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略) a1a2a3...an1Snan思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an),从而得(1-q)Sn=a1-anq. (以下从略) 师

探究中我们们应该发现，Sn-S

n-=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？

生

n＞1.

师

对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n-1=an，n＞1. 师

综合上面的探究过程，我们得出：

na1,q1,na1,q1,Sna1(1qn)或者a1anqq1

1q,q11q,［例题剖析］

【例题1】

求下列等比数列的前8项的和：

111,,,…；

2481(2)a1=27,a9=,q＜0. 243(1)［合作探究］

师生共同分析：

由(1)所给条件，可得a111，q,求n＝8时的和，直接用公式即可. 22由(2)所给条件，需要从a9a1中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而a9=a1q8，所以由条件可得q8=9

243a111，再由q＜0，可得q，将所得的值代入公式就可以了. 24327311[1()8112255. 生

写出解答：(1)因为a1,q，所以当n＝8时，S8212225612=(2)由a1=27,a9a1118，可得q9，又由q＜0，可得q, 2433a12432711(1)243271640于是当n＝8时，S8271811()3

【例题2】

某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？

师

根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题. 生

理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.

解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，5000(11.1n)30000, 整理得1.1n=1.6, 其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.于是得到11.1两边取对数，得nlg1.1=lg1.6, 用计算器算得nlg1.60.2≈≈5(年). lg1.10.041答：大约5年可以使总销售量达到30 000台. 练习：

教材第66页，练习第1、2、3题.

课堂小结

本节学习了如下内容：

1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.

2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能

求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考. 布置作业

课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题. 板书设计

等比数列前n项和公式的推导与应用

等比数列的前n项和公式

情境问题的推导

一般情形的推导例1 练习：(学生板演)

例2 练习：(学生板演)