探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大第二课时 公开课

2．2．3独立重复实验与二项分布

一、复习引入：

1

事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：在一定条件下必然发生的事件；

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件

2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件

发生的频率

总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件

的概率，记作

．

3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；

4．概率的性质：必然事件的概率为

，不可能事件的概率为

，随机事件的概率为

，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形

5

基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件

）称为一个基本事件

6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有

个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是

，这种事件叫等可能性事件

7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有

个，而且所有结果都是等可能的，如果事件

包含

个结果，那么事件

的概率

8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法

9.事件的和的意义:对于事件A和事件B是可以进行加法运算的

10

互斥事件:不可能同时发生的两个事件．

一般地：如果事件

中的任何两个都是互斥的，那么就说事件

彼此互斥

11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．

12．互斥事件的概率的求法:如果事件

彼此互斥，那么

＝

13．相互独立事件：事件

（或

）是否发生对事件

（或

）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件

若

与

是相互独立事件，则

与

，

与

，

与

也相互独立

14．相互独立事件同时发生的概率：

一般地，如果事件

相互独立，那么这

个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，

二、讲解新课：

1

独立重复试验的定义：

指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

2．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是

，那么在

次独立重复试验中这个事件恰好发生

次的概率

．

它是

展开式的第

项

3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

，（k＝0,1,2,…，n，

）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

0 1 …

k …

n P

…

…

由于

恰好是二项展开式

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，

记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记

＝b(k；n，p)．

三、讲解范例：

例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在

10 次射击中，

(1)恰有

8 次击中目标的概率；

(2)至少有

8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)

解：设X为击中目标的次数，则X～B (10, 0.8 ) .

(1)在

10 次射击中，恰有

8 次击中目标的概率为

P (X = 8 ) ＝ . (2)在

10 次射击中，至少有

8 次击中目标的概率为

P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )

. 例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．

解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，

P(ξ=0)= (95%) =0.9025，P(ξ=1)= (5%)(95%)=0.095，

P( )= (5%) =0.0025．

因此，次品数ξ的概率分布是

ξ

0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 例3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．

解：依题意，随机变量ξ～B ．

∴P(ξ=4)= = ，P(ξ=5)=

= ．

∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=

例4．某气象站天气预报的准确率为

，计算（结果保留两个有效数字）：

（1）5次预报中恰有4次准确的概率；

（2）5次预报中至少有4次准确的概率

解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件

．预报5次相当于5次独立重复试验，根据

次独立重复试验中某事件恰好发生

次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率

答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41. （2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即

答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．

例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是

，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）

解：记事件

＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次

独立重复试验

1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率

，

1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率

，

所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为

答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为

．

点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法

例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？

解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击

次

记事件

＝“射击一次，击中目标”，则

．

∵射击

次相当于

次独立重复试验，

∴事件

至少发生1次的概率为

．

由题意，令

，∴

，∴

，

∴

至少取5．

答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次

例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？

解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次

∴从低层到顶层停不少于3次的概率

设从低层到顶层停

次，则其概率为

，

∴当

或

时，

最大，即

最大，

答：从低层到顶层停不少于3次的概率为

，停4次或5次概率最大．

例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．

（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．

（2）按比赛规则甲获胜的概率．

解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为

，乙获胜的概率为

．

记事件

=“甲打完3局才能取胜”，记事件

=“甲打完4局才能取胜”，

记事件

=“甲打完5局才能取胜”．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜

∴甲打完3局取胜的概率为

．

②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负

∴甲打完4局才能取胜的概率为

．

③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负

∴甲打完5局才能取胜的概率为

．

(2)事件

＝“按比赛规则甲获胜”，则

，

又因为事件

、

、

彼此互斥，

故

．

答：按比赛规则甲获胜的概率为

．

例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于

？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（

）

解：记事件

＝“种一粒种子，发芽”，则

，

，

（1）设每穴至少种

粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于

．

∵每穴种

粒相当于

次独立重复试验，记事件

＝“每穴至少有一粒发芽”，则

．

∴

．

由题意，令

，所以

，两边取常用对数得，

．即

，

∴

，且

，所以取

．

答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于

．

（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，

∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为

，

答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384

四、课堂练习：

1．每次试验的成功率为

，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（

）

2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（

）

3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是

（

）

4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为

，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（

）

5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为

．（设每次命中的环数都是自然数）

6．一名篮球运动员投篮命中率为

，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为

．

7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为

，则此射手的命中率为

．

8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为

，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率

9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：

⑴全部成活的概率；

⑵全部死亡的概率；

⑶恰好成活3棵的概率；

⑷至少成活4棵的概率

10．（1）设在四次独立重复试验中，事件

至少发生一次的概率为

，试求在一次试验中事件

发生的概率

（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为

，求在第

次才击中目标的概率

答案：1. C

2. D

3. A

4.

A

5. 0.784

6. 0.046

7.

8.（1）

（2）

9.⑴

；

⑵

；

⑶

；

⑷

10.(1)

(2)

五、小结

：1．独立重复试验要从三方面考虑

第一：每次试验是在同样条件下进行

第二：各次试验中的事件是相互独立的

第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生

2．如果1次试验中某事件发生的概率是

，那么

次独立重复试验中这个事件恰好发生

次的概率为

对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件

要么发生，要么不发生，所以在

次独立重复试验中

恰好发生

次，则在另外的

次中

没有发生，即

发生，由

，

所以上面的公式恰为

展开式中的第

项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系