阅读与思考 九连环设计意图

等差数列的前n项和（一）教学设计

邢台一中 杨红玉

一.学情分析

本节是在学生学习了等差数列的概念和性质的基础上学习和研究的.等差数列前n项和的教学过程，体现了数学的归纳转化及函数与方程的思想方法，反映了从特殊到一般的数学思维形式，这对培养学生的创新意识和观察、抽象、概括、类比、分析解决问题的能力、发展学生的思维能力有重要的作用。

二. 学习内容分析

本节是结合人教版数学必修5第二章数列中2.3《等差数列的前n项和》一节所做设计。

教材地位分析：高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。公式的推导过程采用了：1.从特殊到一般的研究方法；2.倒序相加求和。等差数列前n项和与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。因此，等差数列前n项和公式在《数列》一章中具有极为重要的位置，也是高考命题热点. 本节知识点：①

倒序相加求和法

②

公式一：Snn(a1an)

2n(n1)d

2 ③

公式二：Sn=na1三、三维教学目标

①知识与技能目标：了解倒序相加的原理,掌握等差数列前n项和公式。能应用等差数列前n项和公式解决一些简单问题。 ②过程与方法目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思. ③情感、态度与价值观目标：获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。对学生进行思维灵活性广阔性的训练，发展学生思维水平. 四、重、难点分析

重点：等差数列前n项和公式的推导和应用，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系. 难点：倒序求和的思想，方程思想的应用. 重点难点的教学设计：以高斯故事引入倒序求和的思想，结合等差数列的性质，引导学生动手探究公式的形式，并启发学生探索公式的其他形式，组织学生讨论两种公式的特点，加深对公式的理解。在何种情况下可以应用倒序求和的方法及其原理教师可适当设置问题（举一些能倒序求和的和不能用倒序求

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和的作比较）。

五.教学流程图

公式应用练习（例题分析）

复习有关等差数列的知识

新课题的引入

等差数列前n项和公式的推导

公式的分析

效果测验（提问时要考虑到学生情况）本节小结及作业

六:教学过程

[创设情境] 师： 前面我们学习了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题："把从1到100的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们完全有可能成为新世纪的高斯。（教师观察学生的表情,不信我们来试一试）。

请计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. 生：直接给出常规解法----累加

师：可略加等待,学生马上给出其他解法:

2

生1：因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成5个11，得到55。

师: 肯定其解法, 生2：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根据加法交换律，又可写成

S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

上面两式相加得2S=11+11+……+11=10×11=110 所以我们得到S=55，即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 师：很好.高斯神速计算出1到100所有自然数的和的方法，和上述两位同学的方法相类似.理由是：1+100=2+99=3+98=……=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+……+100=50×101=5050.请同学们想一下，上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？

生讨论思考得: 数列an是等差数列，若m+n=p+q，则amanapaq

师:很好,应用这种思想就可以求等差数列前n项和. 新课探讨

一般地，称a1a2a3...an为数列{an}的前n项的和，用Sn表示，即Sna1a2a3...an

师引导学生:设Sn为等差数列{an}的前n项和

则Sna1a2a3...an ①

另Snanan1an2...a1

②

由①+②

（a1an）+（a1an）+（a1an）+...+（a1an）n(a1an)

2Snn个由此得到等差数列{an}的前n项和公式Snn(a1an),此法就叫“倒序相2加法”.此法对所有数列求和都适用吗？（学生发言，教师可引导学生举例说明：倒序之后对应项之和相等即可。不用过多展开，只要学生发现类似性质即可。）

师：还有没有其他的方法呢？教师提示学生讨论后,部分学生能发现如下形式(可选基础较好学生试答) Sna1(a1d)(a12d)...[a1(n1)d],①

Snan(and)(an2d)...[an(n1)d],②

（a1an）+（a1an）+（a1an）+...+（a1an）由①+②，得 2Sn

n个n(a1an)

由此得到等差数列{an}的前n项和的公式Sn

3 n(a1an).教师要及时肯定2

学生的回答. 师: 我们发现：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了.(语速慢,等学生说)联系上节课知识，我们知道ana1(n1)d,把此式代入Sn中你会有何发现？

n(n1)d

2师：这两个公式都是有关等差数列前n项和的，在形式上有何异同点，进而我们在应用时如何选择呢？大家分组讨论一下。

生：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质.第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行学生化简可以得到：Sn=na1比较.这两个公式的共同点都是知道a1和n，不同点是第一个公式还需知道而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公an，式.(引导学生分组讨论最好让学生来得到两个公式的异同点,教师加以补充). 例题分析

例1、

(1)等差数列{an}中a14，a818，n8；

求其前n项和Sn。

(2) 求和Sn=1+2+3+......+n 学生练习正确应用公式(1)Sn88 (2)Snn(n1)

2例2．已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

引导学生分析得到：等差数列前n项和公式就是一个关于an,a1,n或者a1,n,d的方程。

解：由题意知 S10310， S201220，

将它们代入公式 Snna1得到 （nn1）d，

210a145d310，20a1190d1220

（nn1）63n2n

2此例目的:方程思想的应用(注:也可用第一个公式,可留作思考). 解得a1=4，d=6，

所以Sn4n

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1例3 已知数列{an}的前n项为Snn2n，求这个数列的通项公式.这个数列2是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

解：根据 Sna1a2...an1an

与 Sn1a1a2an1(n﹥1)

1112anSnSn1n2n（[n1）（n1）]2n ①

可知，当n﹥1时，22213当n=1时，a1S1121 也满足①式. 221所以数列{an}的通项公式为an2n

由此可知，数列{an}是一个首项为23，公差为2的等差数列。

2引导学生思考:这个例题还给出了数列通项公式的一个求法.已知前n项和Sn，a1(n1)可求出通项an(最后一定要验证首项a1呦). SS(n2)n1n七:效果测验

基础练习

1.求数列{an}的前n项和Sn其中an23n. 2.求和 (1) 1+3+5+......+(2n-1) (2) 2+4+6+......+2n 能力题

1.求和1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n 2、在等差数列an中，

（1）已知a2a5a12a1536，求S16；

（2）已知a620,求S11。（教师启发学生解）

3. 等差数列an公差为-2，如果a1a4a7....a9750，那么a3a6a9....a99

4. 已知数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn,且拓展题

1. 求集合mm7n,nN*,且m100的元素个数，并求这些元素的和. 2.已知数列an，若an2n25则使Sn达到最大值的n的值是什么?

5 Sn2n7a，求9的值. Tn5n3b9

编题比赛:根据本节课所学内容,以小组为单位,每组出一题,并自附答案,我们评比一下. 习题解答:基础练习考察公式的掌握情况,各量之间的关系. 第1题Snn(13n)

2第2题(1) Snn2 (2) Snn2n

能力题 求和公式的灵活应用,及常见性质的介绍

第1题 奇偶项分开求或(1-2)+(3-4)+(5-6)+......+((2n-1)-2n)=-n 第2题 a2a5a12a152(a1a16) S16第3题16(a1a16)144

2a3a6a9....a99(a12d)(a42d)(a72d)....(a972d)5066d82

11(a1a17)(a1a17)17a92S2177412第4题

1711b9T17517388(b1b17)(b1b17)1722拓展题 拓展思路,加深难度(可选做) 第1题

满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合中的元素共有14个，从小到大可列为：

7，7×2，7×3，7×4，…7×14 即：7，14，21，28，…98 这个数列是等差数列，记为an, 其中a17,a1498 S14答：集合中共有14个元素，它们和等于735 第2题,引导学生预习等差数列前n项和的最值问题

Sn(a1an)n(n12)2144,n=12时和最大. 214(798)735

2八、小结与作业。

师：同学们本节课你有什么收获？ (学生按组讨论,分组回答,教师最后补充) 1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。

2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对Sn公式的运用。

3、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值

。

4、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择两个公式。

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5、当已知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观察，灵活应用等差数列的有关性质，看能否用整体思想的方法求a1+an的值。

师：你有什么疑问吗？（解决学生的疑问。若没有，教师可提出问题）

什么情况用倒序求和？（倒序之后对应项之和相等）

师：很好,在解题中要灵活应用所学性质，要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法.同时希望大家在学习中做一个有心人，去发现更多的性质，像我们课上一样主动积极地去学习. 作业：A组： 2、3、5 九.教学反思及改进设想

本设计采用了探究学习，合作学习的新课标理念。教学过程中，通过教师的问题，引导学生去发现公式，小组合作讨论两个公式的异同。基本能够体现以学生为主体的教学理念，学生参与比较积极，思维活跃,勇于展示自己的发现（这点学生做得很好，多加表扬）。效果测验问题的分层设置,使不同程度的学生都有收获，猜题环节学生的积极性很高。

需改进的：1.学生运算的积极性不高,一些例题应设置的更有趣味性. 2.效果测验是分层练习,要照顾到学生的情况,课上课下结合好.

十.教学点评

重点突出，思路清晰。测验题紧扣本节重点，分层设置,照顾到了不同程度的学生。学生的积极性高，体现了探究学习，合作学习的新课标理念。

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