阅读与思考 九连环优秀教案

课

题：等比数列的前n项和（教学设计）

教

材：全日制普通高级中学教科书·数学（人民教育出版社）

授课教师：原晋霞

一、

教学目标

根据教学大纲的要求和教学内容的结构特征，依据学生的认知能力和数学思维特征，本着素质教育为主的宗旨，现设定目标如下：

知识与能力目标：识记等比数列前n项和公式；理解并掌握公式的推导方法、会运用错位相减法解决类似数列求和问题. 过程与方法目标：在形成公式的过程中，培养学生观察、分析、从特殊到一般的能力，初步感受数学的错位美，知识间的迁移转换能力，自主发现问题、解决问题的发展能力. 情感态度价值观目标：本节课的宗旨是学生主体参与.让学生通过观察、联想、猜测、探求、归纳等合情推理，鼓励学生多角度思维、勇于探索.所以培养学生合情推理能力、数学合作观与竞争观是本课的个性品质目标. 二

、教学重点、难点、关键点

本节课的重点是公式的推导、推导方法的迁移运用、公式的简单运用. 难点是公式的推导、推导方法的迁移运用. 关键点是要通过创设情景引导学生主动探索前n项和公式的推导，使教学过程体现流畅、自然.让学生在不知不觉中依个性思维进行了“合情推理”的思维训练. 三

、教学过程

（1）新课背景知识复习

1）请同学们说出等比数列的基本量？通项公式？及

q=1时，数列的性质？

设计意图：基本量是研究等差、等比数列有关问题的根本；q和1的关系是研究等比数列相关问题讨论的一个关键点.也为这节课公式推导方向及注意点作一个必要的铺垫.

2）等差数列的前n项和公式及推导方法？倒序相加法还可迁移运用到哪种数列求和上？

设计意图：不只公式是我们应掌握的，还应注重它生成的过程，方法、迁移转换以及学生在这个过程当中所获得的个人体验. 3）因式分解: 1－q2＝（1－q）(1＋q) 1－q3＝（1－q）(1＋q＋q2) 1－q4＝（1－q）(1＋q＋q2＋q3) 1－q5＝（1－q）(1＋q＋q2＋q3＋q4) ……

1－qn＝（1－q）(1＋q＋q2＋q3＋q4＋…＋qn-1) 设计意图：体现由特殊到一般的不完全归纳思想，为求和公式推导奠定理论基础和知识基础.并且可以让学生在推导中很快获得成功感，有信心继续探索.

课堂活动：

三个问题要求同桌互相检查、补充，体现学生学习的合作精神与多边交流. （2）设计问题，创设情景，引出课题

介绍饶有趣味的古印度国王奖励国际象棋发明者的典故，然后提出问题：“国王能做到吗？”（“能”，“不能”，同学们争起来了.），“能，还是不能呢？打个比方，你就知道了：用（1+2+22+…+263）粒小麦能从地球到太阳铺设一条10米宽，18米厚的大道.”（学生会露出惊异的表情，急于想知道究竟有多大，有的都忙着算起来了.）“别急呀，如果我又讲了几个故事，要计算：

a＋a2＋a3＋a4＋…＋a20；

或（）2＋（12111）3＋（）4＋…＋（）14；……呢？”

222其实这些就是我们今天要研究的内容(板书课题)：等比数列前n项和

学生思维活动：通过类比思想，学生抽象出研究问题：等比数列a1 , a2 , a3 , a4 ,

…,an

．公比是q（q≠0），试用基本量a1 ，q表示sn(其中sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an）

设计意图：学生不仅能很快地领悟到本课的教学目标，而且适时的锻炼了学生从具体事例中抽象出一般的数学问题的能力，急于想找到答案又会让学生带着浓厚的兴趣积极主动的学习新内容.

（3）推导等比数列前n项和公式

课堂活动：让同学们先思考，讨论刚才的问题．教师巡视，并积极的参与学生的讨论，适当的时候，做必要的指导. 设计意图：在这段时间内，学生不一定能构建起完整的思路，但每个学生都进行了智力参与，即注意力、观察力、记忆力、想象力、思维力、和语言能力，获得了个人体验，为新知识奠定了心理意义的基石.

课堂活动:展示学生可能算到的结果. 1)q＝1, sn=na1; q≠1, sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 =a1(1＋q＋q＋q＋q＋…＋q234n-11qn)= a1

1q2)sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,项与项之间错一个q，(不能完成…)

3)sn= a1+a1q+a2q+…+an-1q, (不能完成…)

设计意图：直观、快速的展示学生的思维过程，促进思维交流与整合. 分析：鉴于目的性，第二种表达式在学生当中占多数，并且也能发现项与项之间的关系，但由于缺乏勇于探索的个性品质和合情推理的思维品质，所以一个很不错的思路嘎然而止.第三种表达式是项与项之间关系的一个直接体现，但同学们刚升入高中学习不久，数学中重要的方程思想还理解不够彻底.所以并不能，也想不到从中提炼出关于sn的等式，当然也就一脸茫然. 对于2），只需依着学生思路发展，即向学生提出问题：如何消灭这种差别.学生会想到第一项乘以q得到第二项；第二项乘以q得到第三项；….但仍会有疑问：那不是还差一个q吗？继续提问：乘以前和乘以后的两个等式有联系吗？学生很快会想到有公共项，消掉公共项，问题得解；对于3），问题启发：(1)等式右边蕴涵着我们所需要求的sn吗?(2)要求sn，而我们又找到了关于sn的等式吗?可以利用什么思想求呢? 课堂活动：学生积极尝试.教师巡回指导，有针对性的帮助个别同学准确，完整的利用第三种方法推导.并展示它的解法.但考虑到2）是一种很重要的数列求和方法，并且在运用的时候容易出现符号错误和少写一项，所以教师应板书过程，并说明这种方法叫错位相减法. (板书)：

sn =a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1

①

qsn =

a1q+a1q2+…+a1qn-1+ a1qn

②

由①－②得：

（1－q）sn= a1－a1qn

1qn

q≠1, sn= a1

1q

q＝1, sn = na1

(展示)：sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an，而

sn= a1+a1q+a2q+…+an-1q sn= a1+q(a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an-1)

sn= a1+ q(sn－an) （1－q）sn= a1－a1qn

1qn即q≠1, sn= a1

1q

q＝1, sn = na1

（这实际上是一种方程思想，也是数列求和的一种重要思想.）

课堂活动：请同学们从多角度（思想方法、障碍及突破点、个性品质）反思刚才的推导过程. 设计意图：优化思维过程和思维品质；促进知识的同化和迁移；帮助学生建立合理的知识结构和体系. （4）错位相减法应用

展台出示问题：求数列2，3×22，5×23，7×24，…

，（2n－1）2n．的前n项和sn. 设计意图：深化数学中的类比思想.

学生思维活动：学生会想到乘以2，有了刚才的经验，敢大胆的进行探索、尝试. 课堂活动：请大家举出一些能用错位相减法解决的数列求和例子，并讨论出错位相减法还能运用到哪种特征的数列求和？（共同讨论

合作交流

教师参与）

（点组回答：1组，2组，4组，…激活气氛），让大家评出最佳语言表达奖.并板书学生所揭示的本质.）

（5）巩固公式，熟练应用

课堂活动：出示情境当中的问题，学生练习.教师注意发现错误（第一个和第三个数字太大，只要求写出最简表达式.）

设计意图：前后呼应，有问有答.通过简单、直白的练习，实现公式应用第一梯度目标，即：识记公式，理解公式当中n的意义，若公比是字母时，要讨论公比和1的关系.

课堂活动：实物展示台展示学生有可能出现的错误,并及时加以更正. 12631)s64=12=263-1

（×）

1a202)s20=

（×）

1a113)s14=211214=2-213

（×）

设计意图：强化记忆，更正错误，加强应用．

情景问题：

遥望巍巍塔七层，星光点点倍加增;

总共三百八十一，试问尖头几盏灯. (答案：３盏)

设计意图：体现数学和其它学科的联系，增强学习数学的兴趣. （6）课堂小结

请同学们自己对本节课所学到的知识，数学思想，障碍的突破及课堂全程进行反思并注意和老师或同学交流心得；教师在学生总结归纳的基础上，进行必要的完善和补充；教师对学生在课堂中的表现进行肯定与评价.（这节课同学们思维非常活跃、一些思考方式很独特；解决问题当中又表现出了很多的良好品质.比如：克服困难的勇敢心态、与合作伙伴的积极交流以及勇于暴露思维错误的个性品质）

设计意图：可以使学生自主理清知识脉络，归纳知识结构：还可强化运用一些数学思想解题的指导作用，以及个性品质在学

习当中的推波助澜.课堂小结起着画龙点睛、承上启下、使人回味无穷的作用. （7）课后练习

1）例1到例4自主练习. 2）求和：s=1+2x+3x2+…+nxn-1

设计意图：把例题作为作业，主要是想让同学们能亲历自主构建数学解题经验，力求在主体努力下寻求疑点；并且尊重了个别智力差异.也为下一节课直接进入重点、难点做了充分的准备. （8）板书设计

等比数列的前n项和（1）

等比数列｛an｝，首前n项和sn

q＝1, sn = na1

1qnq≠1, sn= a1

1q公式推错位相减法

项a1，公比q(q≠0),导（错位相减法）

…（推导适用对象：数列｛anbn｝求和,其过程）

中｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列. 运用：(1)式子两边同乘公比；

(2)错位相减

注意：(1)相减后的符号(2)q与1

设计意图：为了揭示教学内容的结构体系和教学程序；突出重点，强化记忆.板书一定的内容是必不可少的. （9）教学后记

注意:(1)n的意义

(2)讨论q与1