1.3 二项式定理（通用）ppt专用说课稿内容

二项式定理第一课时教学设计

海南省农垦实验中学 赵敏

一、教学目标

1.知识与技能：

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点、难点

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。

（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。

（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

难点：

（1）二项展开式的规律的理解和掌握。

（2）“二项式系数”和“系数”的区别。

突破难点的关键：

（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系；

（2）利用组合的知识归纳二项式系数；

（3）充分利用二项展开式的规律。

三、教学用具：多媒体

四、教学过程：

（一）提出问题，引入课题

n222(ab)a2abb(ab)二项式定理研究的是的展开式，如：，

(ab)3?

(ab)4?

(ab)100?

那么(ab)n的展开式是什么？

设计意图：通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开的问题，目的是为了让学生了解知识发生，发展的过程，激发学生在认知的冲突，让学生明白二项式展开实质上是多项式的乘法。

提问：（1）以（a+b）2＝a2+2ab+b2为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的系数又是什么？有几项？

观察(a+b)2＝

(a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2

，

ab

，

b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.考虑b: 每个都不取b的情况有C20

种,则a2前的系数为C20

恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21

恰有2个取b的情况有C22

种，则b2前的系数为C22

（2）展开式中各项的系数与展开式中各项的次数有没有关系？

（3）你能猜想（a+b）3、（a+b）4……（a+b）n展开式的形式吗？观察下面等式：

（a+b）＝a+b =C0 a2 + C1 ab+ C2 b2

222= C0a3 +C1a2b+C2ab2 +C3 b3

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab3+b43333（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 每个都不取b的情况有1种,即C0 ,则a4前的系数为C0

44恰有1个取b的情况有C1种，则a3b前的系数为C1 44恰有2个取b的情况有C2

种，则a2b2前的系数为C2 44恰有3个取b的情况有C3

种，则ab3前的系数为C3 44恰有4个取b的情况有C4种，则b4前的系数为C4

44由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故含a4的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即C40a4，系数为：C40含a3b的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即C41a3b，系数为：C41；含a2b2的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即C42a2b2，系数C42为；含的ab3的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即C43a3b，系数为C43，含b4的项只能由4个括号都取b而得，即C44b4，系数为C44；从而可得：

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

提问：的展开式怎么写呢？

（二）新知讲解

引导学生回答：可以对b分类：：不取b，得取1个b，取得2个b，得…………取k个b，得…………取n－1个b，得取n个b，得将这n+1个式子相加，可得二项式定理

（a+b）n＝Cn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+……+ Cnkan-kbk+……+ Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）

设计意图：本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。

完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有n+1项，其中各项系数Cni（i=1,2,3……,n）叫做二项式系数，其通项公式为：Tk+1=Cnkan-kbk（k=1,2,3……n）。

说明：

（1）猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。

（2）二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中式中a与b是用“+”连接的。

（3）展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。

（4）通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。

（5）二项式系数为Cnk，注意与项的系数的区别。

例如：（1－x）3的第二项是－C31x，其二项式系数为：

C31，第二项的系数为：－C31。

设计意图：对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。

（三）例题解析：

例：（1）（学生练习：）展开（a+b）5,（a+b）6

（2）求展开式的第63项

1（3）

求2x的展开式.x设计意图：例（1）是对二项式定理的简单应用，目的在于对定理字母a,b所表示的数或式的领会及运用定理的能力；例（2），（3）二题着重于学生对通项公式的掌握，体会二项式定理的展开式中a与b位置不能对换，并注意到例（3）的结论正是例（2）展开式中的倒数第3项。应用解析：

411例（4）展开

x

42344641111111234142311C4C4C4C4解析：

xxxxxxxxx

例（5）请问（a+2b+3c）7，的展开式中，a2b3c2项的系数是多少？

（四）巩固练习

求(1+2x)7的展开式的第4项；第4项的二项式系数；第4项的系数。

注：1)注意对二项式定理的灵活应用

2)注意区别二项式系数与项的系数的概念

二项式系数：Cnr；

项的系数：二项式系数与数字系数的积

3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开

（五）课堂小结：

根据多项式乘法，结合组合知识，通过猜想归纳得到二项式定理：

（a+b）n＝Cn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+……+ Cnkan-kbk+……+ Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）

及通项公式：Tk+1=Cnkan-kbk（k=1,2,3……n）

注意事项（1），注意观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法。

（2），二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中。

（3，展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。

（4），通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。

（5），二项式系数为Cni（i=1,2,3……n），注意与项的系数的区别。

（六）布置作业

课本作业：P109 1,(1),2(2),3(2),2，思考题：求的展开式中的系数３。

五、课后反思

本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：

1，本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎，归纳，得出定理。培养学生猜想，归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。

2，在例题，作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，如例4，让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培养了学

生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学，认识数学。

3，以学生为主体，让学生自己去探索，发现，再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解，主动探索的认识过程必须伴随着学生心理意志，情感，品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质，生命成长。